Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung
Ansatz:
Werden die Widerstände der Leiterbahnen vernachlässigt ("idealer Schwingkreis"), bleibt die Summe der Beträge beider Spannungen auf Grund des Energieerhaltungssatzes konstant.
(Bild: idealer Schwingkreis)
= -
T + = 0
Ebenfalls aus dem Energieerhaltungsatz erhält man den Ansatz für die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung:
Ersatzschaltbild für
den realen Schwingkreis (R
):
(Bild: realer Schwingkreis)
+ = -
+ + = 0 (Gleichung 1a)
Aus 
folgt für : = 
(Gleichung 1b)
Aus 
folgt für : 
(Gleichung 1c)
Aus dem
Induktionsgesetz geht hervor: = 
(Gleichung 1d)
Durch Einsetzen der [Gleichungen 1b, 1c, 1d] in die [Gleichung 1a] erhält man die Gleichung :
(Gleichung
2a)
Da für 
gilt : 
bzw. 
, folgt für die Differentialgleichung:
(Gleichung
2b)
Jede gedämpfte
harmonische Schwingung läßt sich durch eine Gleichung der Form 
beschreiben.
Da in diesem Fall elektrische Ladungen schwingen, ergibt sich daraus der Lösungsansatz für die Differentialgleichung:
T 
T 
Ziel: 
und 
sollen durch gegebene Werte (
und 
) berechnet werden können.
Durch Einsetzen dieser Terme in [Gleichung 2b] entsteht die Gleichung :
( 
+ 
- 
-
)
Durch Zusammenfassen der Gleichung erhält man:
Da 
für den zu
beobachtenden Zeitraum stets ungleich 0 ist, können wir beide Seiten der
Gleichung durch dividieren.
Die dann entstehende Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn gleichzeitig gilt:
1) 
(Gleichung
3a)
(Gleichung 3b)
Da 
und 
nie gleichzeitig null sind, genügt es, den jeweils anderen
Faktor nullzusetzen.
Aus der Gleichung 3b kann bereits ein Ausdruck für die "k" gefunden werden:
| ausklammern
T 
(Gleichung 4)
Einen Term für die Frequenz "f" erhält man aus [Gleichung 3a]:
| 
nach 
umstellen
|
für [Gleichung 4]
einsetzen
| 
|
p
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