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Die Differentialgleichung der gedampften elektromagnetischen Schwingung



Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung


Ansatz:

Werden die Widerstände der Leiterbahnen vernachlässigt ("idealer Schwingkreis"), bleibt die Summe der Beträge beider Spannungen auf Grund des Energieerhaltungssatzes konstant.





(Bild: idealer Schwingkreis)


= - T + = 0





Ebenfalls aus dem Energieerhaltungsatz erhält man den Ansatz für die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung:


Ersatzschaltbild für den realen Schwingkreis (R):


(Bild: realer Schwingkreis)


+ = -

+ + = 0 (Gleichung 1a)

Aus folgt für : = (Gleichung 1b)

Aus folgt für :                                (Gleichung 1c)

Aus dem Induktionsgesetz geht hervor: = (Gleichung 1d)

Durch Einsetzen der [Gleichungen 1b, 1c, 1d] in die [Gleichung 1a] erhält man die Gleichung :

                            (Gleichung 2a)


Da für gilt : bzw. , folgt für die Differentialgleichung:

                           (Gleichung 2b)

Jede gedämpfte harmonische Schwingung läßt sich durch eine Gleichung der Form beschreiben.

Da in diesem Fall elektrische Ladungen schwingen, ergibt sich daraus der Lösungsansatz für die Differentialgleichung:

T

T


Ziel: und sollen durch gegebene Werte (und ) berechnet werden können.






Durch Einsetzen dieser Terme in [Gleichung 2b] entsteht die Gleichung :

( +

-



-

)




Durch Zusammenfassen der Gleichung erhält man:


Da für den zu beobachtenden Zeitraum stets ungleich 0 ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch dividieren.

Die dann entstehende Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn gleichzeitig gilt:

1) (Gleichung 3a)

                         (Gleichung 3b)


Da und nie gleichzeitig null sind, genügt es, den jeweils anderen Faktor nullzusetzen.

Aus der Gleichung 3b kann bereits ein Ausdruck für die "k" gefunden werden:

                     | ausklammern

T (Gleichung 4)



Einen Term für die Frequenz "f" erhält man aus [Gleichung 3a]:

          | nach umstellen

                      | für [Gleichung 4] einsetzen

|

                           | p













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