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Freie harmonische Schwingung


Freie harmonische Schwingung

s-t-Schaubild sinusförmig ; v-t-Schaubild cosinusförmig ; a-t-Schaubild -sinusförmig .

v(t) = (t) ; a(t) = (t) = (t) . t unabh. von Amplitude -> f konst. .

Weiteres Beispiel :

w = 2 p f = (2 p)/T Winkelgeschw.

s(t)= ŝ sin(wt); v(t)= ŝ w cos(wt) (ŝ w =); a(t)= - ŝ w² sin(wt) (ŝ w² = â). 43577ckp49vuf1x

m* a(t) = F ~ s(t) ; F = -Ds ; -Ds = -mw²s -> w² = D/m ( analog f & T ) .

für harm. Schwing.

Bes. Anfangsbed.: t=0s und : s = 0m ; v =+ -> s(t) = ŝ sin(wt)

s = 0m ; v = - -> s(t) = - ŝ sin(wt) ku577c3449vuuf

s = + ŝ ; v = 0 -> s(t) = ŝ cos(wt)

s = - ŝ ; v = 0 -> s(t) = - ŝ cos(wt)

allg.: s(t) = ŝ sin(wt + Nullpunktsphasenwinkel ) wt = Phasenwinkel

Elongation s : s(a) = d * L

(d im Bogenmaß)

Rückstellkraft F res = F1

= sin (d) * G




A sehr klein : sin d = d

Harm. Schwing.

 

- 1 -


Harm. Schwinger

Richtgröße D = (m* g)/L

Õ w² = D/m = g/L

(entsprechend f & T)

Über Ähnlichkeit :

F= -2D(1 - L/l)s ; l² =l 0² + s²

Õ für kl. s bleibt l fast konst.

F/s = -D 0 = -2D(1 - L/l)

EES bei harm. Schwing.

Elongationsenergie . NN der Lageenergie so wählen , dass in Gleichgewichtslage (s=0) W Elong = 0 J . W Elong = ½ Ds² . Harm. Schwing. besitzt nur W Elong & W B .

  1. s= ŝ ; v=0 : W Elong = ½ Dŝ ² .

  2. s= 0 ; v max. : W B = ½ m² ; = ŝ w ; w² = D/m ; W B = ½ D ŝ ² .

  3. s belieb. V bzw. t zugehörig : W B +W Elong = ½ mv² + ½ Ds² = ½ Dŝ ² .

Gesamtenergie : W = ½ Dŝ ² = ½ m² = ½ m w² ŝ ² .

Erzwungene Schwingungen

Bei f ca. f0 : ¼ Periode (bzw. 90° ; T/4 ; p/2) Phasenversch.

s(t) = ŝ sin(wt - p/2) . Für f >> f0 : Phasenversch. nähert sich p :

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Mechanische Wellen

Alle Teilchen können schwingen & sind durch Kräfte gekoppelt : Schwing. pflanzt sich von Teilchen zu Teilchen fort -> mechanische Welle .

Querwellen (Transversalwellen) : Teilchen schwing. orthogonal zu Ausbreitungsrichtung . v mit der sie schwingen heißt Schnelle v . v mit der sich Schwing. fortpflanzt heißt Ausbreitungs-v c . Teilchen bleiben an ihrem Platz .

Längswellen (Longitudinalwellen) : Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung .

v bei Querstörungen (-wellen)

Harm. Querwellen

Wird 1. Teilchen mit f zu harm. Schwing. angeregt , so wandert Welle während T = 1/f um l = c* T weiter . l heißt Wellenlänge . : c = l / T = l*f . Teilchen führen erzw. Schwing. aus . 1. Teilchen : sin-Schwing. , dann schwingt Teilchen an Stelle x um Δt = x/c genauso . Elongation : s(x;t) = ŝ sin(w(t - x/c)) = ŝ sin(w(t - x/(l*f))) .

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Reflexion von Wellen

Festes Ende : Wellenberg als Wellental reflektiert & umgekehrt . -> Phasensprung von 180°.

Freies Ende : Wellenberg als Wellenberg reflektiert . -> kein Phasensprung .

Interferenz

2 Wellen am selben Ort : ungestörte Überlagerung : Elongationen & Schnellen addieren sich , das heißt Interferenz .

1.) Ausbreitung in gleicher Richtung , f gleich .

  1. in Phase : ŝ = ŝ1 + ŝ2 : konstruktive Interferenz .

  2. Phasenwinkel 180° (gegenphasig) : ŝ = ŝ1 - ŝ2 : destruktive I.

  3. 0 < j < 180° : ŝ1 + ŝ2 > ŝ > | ŝ1 - ŝ2 | .

2.) Wellen begegnen sich , f gleich .

2 Wellen mit gleicher f & Amplitude: sie interferieren zu stehender Welle. (l =c* T)

Alle Teilchen schwingen in Phase , Amplitude vom Ort abh. Wellengleichung :

s(x;t) = [2ŝ sin((w* x)/c)]*sin(wt) . [ortsabh. Amplitude]*sin(wt) . Bei Reflex.

werden einfallende & reflektierte Welle zu einer stehenden Welle .

a) festes Ende : letztes Teilchen bleibt in Ruhe -> Bewegungsknoten . Im Abstand

(n* l)/2 weitere Knoten . Zwischen 2 Knoten : Bewegungsbauch ( bei

((2n+1)* l)/4 ) .

b) loses Ende : letztes Teilchen : Bewegungsbauch .

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Konstruktion der res. Welle bei der Reflex. am festen Ende

Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des festen Endes des Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .

Konstruktion der res. Welle bei Reflex. am freien Ende

Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des freien Endes des Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .

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Eigenschwingungen

Eingespanntes Gummiband ( feste Enden ) . Nur bei best. Anregungs-f ( Eigen-f ) : stehende Wellen . Niedrigste Eigen-f : genau halbe Wellenlänge paßt auf Träger .

Wellenlänge : l = ½ k*l k . Eigen-f : f k = k* f1 = c/l .

f1 : Eigen-f zur Grundschwingung (/ 1. Harmonische)

f k : Eigen-f zur (k -1). Oberschwingung (/ k. Harmonische) .

Stehende Längswellen

Analog zu stehenden Querwellen ( selbe f & Amplitude ) .

Druckbäuche befinden sich an den Stellen , an denen Bewegungsknoten sind .

Abstand 2er Druckknoten ½ l .

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Längswellen oder Longitudinalwellen

Elongationsrichtung : Ausbreitungsrichtung . Teilchen schwingen um ursprüngl. Lage in x-Richtung . Sonst analog Querwellen . s = Δ x (Auslenkung aus Ursprungslage).

Weiß : alte Lage , Schwarz : neue Lage , Pfeile : Entfernung von alter Lage :

Druckunterschiede wandern über Wellenträger . Teilchen schwingen nacheinander mit f in Längsrichtung . Fortschreitende Längswellen : Unterdruck / Überdruck an Stellen mit Elongation 0 ( bei max. Schnelle ) .

Bsp.: stehender Längswellen - Schallwellen

Korkmehl . best. f Ton bes. laut . : stehende Welle . 2 offene / geschlossene Enden : l = ½ k*l : Eigen-f . 1 offenes & 1 geschlossenes Ende : l = ¼ l*(2k -1) .

2 offene Enden :

1 offenes & 1 geschlossenes Ende :

2 geschlossene Enden :

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Dopplereffekt

  1. bewegte Schallquelle , ruhender Beobachter .

v von Q kleiner Schallgeschwindigkeit c : v < c .

  1. Spezialfall : v = 0 m/s : b) v > 0 m/s :

b) l = c/ f ; s = v *T = v/ f : Abstand zwischen 2 Wellenfronten verkürzt sich um s .

Beobachter vor Quelle / Beobachter hinter Quelle :

l v h = l -+ v/f = c/f -+ v/f = (c -+ v)/f ; f v h = c / l v h = c/((c -+ v)/f) = c* f/(c -+ v)

oder f v h = f/((c -+ v)/c) = f/(1 -+ v/c) .

  1. Bewegter Beobachter , ruhende Quelle .

f z = 1/T z = (c+ v)*f/c = (1+v/c)*f . Analog B w : f w = (c- v)*f/c = (1-v/c)*f .

Machscher Kegel - Überschallknall

D.h. v ≥ c bewegte Quelle :

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Elektrostatik

Elektrische Feldstärke

Geo. Überlegungen : sin φ = s/L ; tan φ = F el/G , da φ<<10° : sin φ ≈ tan φ :

F el/G = s/L : F el = G* s/L . F el ~ q : F el/q = E heißt Feldstärke { 1 N/C } .

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Elektrische Ladung

W A -> B ~ q ->U = W AB /q ist konst. & heißt Spannung zwischen A & B {1 J/C = 1V} .

Spezialfall : Homogenes Feld

F & E konst. W AB = F s*s = F el*d : U AB = W AB /q = F el *d/q = E*q*d/q = E*d : E = U/d . 1.) Geladene Kugel zwischen C , d wird vergrößert : a) Quelle weg , Q bleibt konst. : mit d nimmt U prop. zu : E konst. : Kugel bleibt gleich ausgelenkt : E = F el/q konst. b) Quelle bleibt , U konst. : Kugelausschlag geht zurück : E = U/d & E = F el/q konst. 2.) d konst. , U variiert : U nimmt ab : E = U/d nimmt ab Ausschlag geht zurück .

Im radialen Feld einer Punktladung

I entlang einer Feldlinie (Weg längs Kraft) , II beliebiger Weg . Arbeit entlang s mit Mittelpunkt -Q : W = 0 J : Kreisbahn : F orthogonal s . I F nicht konst . II zerlegt in Strecken entlang Feldlinien & Kreisstücken : zu jeder Wegstrecke Strecken auf I mit gleichem Kraftverlauf (= E) : Überführungsarbeit wegunabh. Jedes elektrostatische Feld aus Punktladungen zsmgesetzt : F = F res aus Punktladungen : Im elektrostatischen Feld : U = W/q zwischen 2 Punkten ist eindeutig best. (hängt nicht vom Weg ab). Wenn W 1 > W 2 Widerspruch zu EES : Auf I hin , auf II zurück : W = W 1 - W 2 : man würde Energie rausbekommen .

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Potentiale im stromdurchflossenen Leiter

AB dünner Draht : gr. Widerstand R .Energie über Stöße an Draht abgeg. Je weiter e‾ im Draht kommen , desto mehr W haben sie abgeg. Strom fließt : Potential (R) im Leiter nimmt ab : Spannungsabfall : Wieviel W gibt 1 C Ladung auf dieser Strecke an Draht ab . Spannungsabfall AX : U AX = φ(X) = (AX)/(AB)*4V = 4V*R AX /R ges :

U AX prop. zu R AX .

lächendichte der Ladung

Coulomb-Gesetz

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Berechnung der Feldstärke in radialen Feldern

Coulomb-Gesetz

F = E*q = Q* q/(4p r² ε 0) = k* Q* q/ r². Q = Punktladung , r = s.o. , q von Q ,

k=1/(4p ε 0) = 9,0*109 N*m²/C².

Coulombpotential

U AB =W AB /q : W AB = rA rB F(r) dr = Q q/(4p ε 0)* rA rB 1/ r² dr

=Q q/(4p ε 0)*[-1/r] rA rB = Q q/(4p ε 0)*(1/r A -1/r B)

NN ∞ (r B -> ∞) : Coulombpotential von A mit r = r A von Punktladung Q .

φ(r) = U A, = Q/(4p ε 0 r) : W~1/r : W>0J ; Qq>0 : Abstoßung ; W < 0J ; Qq < 0 : Anziehung .

Die Kapazität

Hom. Feld : E=U/d ; σ = Q/A = ε 0*E : Q = ε 0*E*A = ε 0*U*A/d : Q~U : C = Q/U heißt Kapazität {1 C/V = 1F } : C = ε 0*A/d . Isolator zwischen Platten : Vergrößerung C um Dielektrizitätszahl ε r : C = ε 0 r* A/d .

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Schaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung : Reihenschaltung :

Q i = C i* U ; i = 1,2,3 Wegen Influenz : jede Platte

Ins. Quelle liefert Ladung : gleiche Ladung : jeder C gleich

Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 geladen : U i = Q/C i ; i = 1,2,3

= C 1*U + C 2*U + C 3*U (Spannungsabfall).

= (C 1 + C 2 + C 3)*U U = U 1 + U 2 + U 3

Ersatzkapazität : C = Q/U Ersatzkapazität : C = Q/U :

C ers = Q/U = C 1 + C 2 +C 3 C ers = (1/C 1+1/C 2+1/C 3)

-1 .

Die Isolatoren im E-Feld

Erklärung ε r :

a) C von Quelle getrennt : Isolator einschieben : U zwischen Platten sinkt . Durch felderzeugende Ladungen +Q & -Q Elektronenhüllen gegenüber Atomkernen verschoben . An Platten zugewandten Seiten entsteht Ladungsüberschuß , heißt Polarisationsladungen Q p . Im Isolator entsteht „induziertes“ Gegenfeld : ursprüngl. E geschwächt : U= E*d zwischen Platten sinkt . (F kleiner , W überführ kleiner).

  1. Quelle angeschlossen : zusätzlicher Ladestrom fließt : neg. Ladungen von Quelle zusätzlich von Q p angezogen . Quelle kann bei gleichem U mehr e‾ gegen gegenseitige Abstoßung auf neg. Platte transportieren . Analog pos. Platte . C nimmt mit Dielektrikum zu .

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Andere Betrachtungsweise :

Für Verschiebung von e‾ in Atomen ist W nötig :

a) von Quelle getrennt : Dielektrikum nimmt einen Teil der in E gespeicherten W auf : Feldstärke & U zwischen Platten nimmt ab .

b) an Quelle angeschlossen : Quelle liefert mehr W , da Dielektrikum auch W aufnimmt : mehr Ladung fließt auf Platten : C hat zugenommen : C = ε 0ε r* A/d .

Bemerkung :

Manche Dielektrika haben Atome , die selbst el. Dipole sind : ε r bes. hoch : durch Ausrichtung der Dipole großes Gegenfeld : Überführungsarbeit kleiner , C = Q/U wird groß : man sagt Orientierungspolarisation . Ausrichtung der Dipole : entgegen thermischer Teilchenbewegung : ε r temperaturabh.

Leiter im C :

Statt Dielektrikum Metallplatte (Dicke x) ohne Berühren : So viele Ladungen auf ihr werden influenziert , bis Leiterinnere feldfrei . C steigt (nicht wegen ε r sondern weil durch Platte quasi 2 Cs vorhanden : Plattenabstände d 1 & d 2 : d 1 + d 2 = d - x .

C ers = (1/C 1 + 1/C 2)-1 = (d 1/(ε 0*A) + d 2/(ε 0*A)) -1

= ε 0*A/(d 1 + d 2)

= ε 0*A/(d - x) > ε 0*A/d .

Andere Betrachtungsweise :

e‾ in Leitern praktisch ohne Arbeitsaufwand verschiebbar : W um e‾ von 1er Platte zur anderen zu transportieren mit Metallplatte geringer (wegen W P,Q = E*s, s = PQ)

um W x = E* x : Spannung U A,B = W A,B /q = (W d - W x)/q = E*(d - x) nimmt ab .

 

Parallelschaltung von C 1 mit der Reihenschaltung C 2 & C 3 mit

C 1 = e 0*A 1/d ; C 2 = e r e 0*A 2 /d 2 ;

C 3 = e 0*A 2 /d 3 :

C ers = C 1 + (1/C 2 + 1/C 3) -1

Reihenschaltung 2er Cs mit C 1 = e 0*A/d 1 & C 2 = e r e 0*A/d 2 :

C ers = (1/C 1 + 1/C 2) -1= e 0 e r* A/(e r* d 1 + d 2)

Parallelschaltung 2er Cs mit C 1 = e 0*A 1/d & C 2 = e r e 0*A 2/d :

C ers = C 1 + C 2 = e 0*(A 1 + e r* A 2)/d .

Dielektrika teilweise eingeschoben

 

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Feldenergie

W el eines geladenen C :

Um q bei der nahezu konst. U 1 von Platte 1 des C nach 2 zu schaffen ist W1 = U 1 *q nötig . W ges ergibt sich als Fläche unter Q-U-Kurve :

W = ½ QU = ½ CU² = Q²/(2C) .

Wo ist diese Energie gespeichert

Platten von C (ohne Quelle) auseinanderziehen : Q & E konst. aber felderfüllte Raum nimmt zu : W = ½ CU² = ½ ε 0 ε r (E*d)² *A/d = ½ ε 0 ε r *A* d* E² : A*d = Volumen zwischen den Platten : W = ½ ε 0 ε r *V*E² : W el steckt in V .

Def.: Energiedichte : ρ el = W el /V = ½ ε 0 ε r *E² .

Laden eines Kondensators

C über R laden : Strom I(t) fließt , nach t ist Q(t) auf C : zwischen Platten herrscht Spannung U C (t) = Q(t)/C (Spannungsabfall an C) . Nach Halbwertzeit T H ist Q bzw. U entsprechend größer . Über Q(t)- bzw. U(t)-Schaubild Exponentialkurven :

U C (t) = U 0 (1 - ½ t/TH) ; Q C (t) = U 0 *C*(1 - ½ t/TH) , für Ladestrom gilt :

I(t) = ()(t) = I 0 * ½ t/TH.

Entladen : U C (t) = U 0 * ½ t/TH ; Q C (t) = U 0 *C* ½ t/TH , für Entladestrom gilt :

I(t) = (t) = -Q(t)*ln(2)/TH .

Da I(t) = U(t)/R = -Q(t)*ln(2)/TH ist TH = -R* ln(2)*Q(t)/U(t) : TH = ln(2)*R*C .

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e‾ - Rotor

Neg. Ionen laufen nach innen : erfahren im Magnetfeld Kraftkomponente im Uhrzeigersinn . Pos. Genauso laufen nur nach außen : Flüssigkeit rotiert im Uhrzeigersinn . (für pos. Teilchen 3-Finger-Regel mit re. Hand möglich).

Magnetische Flussdichte

Def.: Steht stromdurchflossener gerader Leiter senkrecht zu Magnetfeldlinien & erfährt mag. Kraft F so heißt B = F/(I*s) mag. Flussdichte (B Maß für Stärke des Magnetfeldes (B-Feld)) {1 T = 1 N/(A*m) } . Richtung aus (li.) 3-Finger-Regel .

Größe der Lorentzkraft

Mit oben gilt : F = I*B*s ( F = Summe der Lorentzkräfte aller in s fließenden e‾).

v = s/t , I = Q/t = N* e‾/t : I = N*e*v/s : F = s*B*N*e*v/s = N*e*v*B ( für alle e‾ in s) , Für 1 e‾ : F/N = F L = e* v* B ( v senkrecht zu B-Feldlinien : F L ^ v s bzw. ^ B .

Allg. F L = q* v* B .

Geschwindigkeit der e‾ in stromdurchflossenen Leitern :

Bsp.: Silberdraht : ρ Ag = 10,3 g/cm³ , Atommasse : 108 u

I = N* v* e/s = N* v* e* A/V : 1 mol Ag wiegt 108 g / V = m/ρ Ag = 10,5 cm³ / enthält 6*10²³ Atome . Jedes Metallatom gibt ca. 1 e‾ als Leitungselektron an Metall ab : 6*10²³ e‾ = N in 10,5 cm³ .

I = 1 A , Querschnittsfläche A = 1 mm² : v = I*V/(N* e* A) = 0,11 mm/s .

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Halleffekt

F el hält F L das Kräftegleichgewicht (E-Feld durch e‾ - Verschiebung) :

F L = e* v* B = e* U H /h = F el : U H = h* v* B .

B-Feld bei Spulen

Durch Messung : B ~ I*n/l : μ 0 = B/(I* n/l) = B* l /(I* n) = 1,257*10-6 T* m/A und heißt mag. Feldkonstante . Mit Permeabilitätszahl μ r erhöht sich B :

μ 0 = B/(μ r *I* n/l) = B* l /(μ r *I* n) = 1,257*10-6 T* m/A . Nur für schlanke Spulen : l ≥ 5*Durchmesser . Also B = μ 0 *μ r *I* n/l .

Das Erdmagnetfeld

Spule mit Kompaß in O-W-Richtung , Spulenstrom so , dass Kompaß in N-O-Richtung : B-Feld : B = 1,257*10-6 T* m/A * 0,16 A * 34/0,28m

= 2,4*10-5 T ( falsch , da zu viel Eisen (-> Felder) in der Nähe).

Geladene Teilchen in Feldern

e‾ in Braunscher Röhre beschleunigt : EES : W el = W B : U*q = ½ mv² :

v = √(2Ue/m) ( für U ≤ 10 kV , m = m 0 *1/(√(1 - v²/c²))

m 0 = Masse in Ruhe , für kleine v ist m = m 0 .

Bewegte e‾ im (hom.) B-Feld

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Versuchsvariante : e‾ schräg zu B einschießen , Einschußwinkel φ .

v s ^ B bewirkt F L : realisiert F z . v p || B : keine F L : in B Richtung bewegen sich die e‾ gleichförmig mit v p = cos φ *v . Überlagerte Kreisbewegung wegen v s .

Schraubenlinie

Ganghöhe : h = v p *T , Umlaufdauer : T , Radius Kreisbahn : r . Ansatz : F L = F z . e* v s * B = m v s ²/r : r = m v s /(e* B) = m* v* sin φ /(e* B) ; T = 2p r/v s = 2p m v s /e* B* v s = 2p m/(e* B) : unabh. von v , r , φ . h = cos φ*v*2p m/(e* B) .

Geladene Teilchen in E-Feldern

v x = √(2U x *e/m) = x/t ; y-Richtung : a y = U y *e/(d* m) , (für 0 ≤ x ≤ l) :

v y = a y *t = U y *t *e/(d* m) , y = ½ a y *t² = e* t² *U y /(2d*m) = y(t) .

Bahnkurve : aus oben : t = x/(√(2U x *e/m)) ; y = (U y *e/(2d*m))*(x²/(2U x *e/m) = x² *U y /(4d*U x) = y(x) (Parabelbahn) .

Ende des Kondensators : x = l : y 1 = l² U y /(4d*U x) .

Geladene Teilchen in E- & B-Feldern

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Versuch : e‾-Bahn nicht gerade : Fehler : Felder nicht ganz homogen .

Wird hinter Wienfilter B-Feld erzeugt , so wird dort nach Masse sortiert : man nennt diese Anordnung Massenspektrograph .

Weiteres Bsp.: Thomson :

Punkt gibt an : Masse / v durch Ort des Punktes , Ladung durch Richtung (o , u , li , re).

Kreisbewegung in x-y-Ebene , Parabelbahn in y-z-Ebene .

Raumladung in Vakuumdioden

2) Stromkreis geschlossen , A besitzt 3) zusätzlich weitere Quelle U a im Kreis .

dasselbe Potential wie K : 2 E-Felder a) U a bei A pos. : E 2 vergrößert , E 1

existieren : E 1 zwischen K & abgeschwächt : mehr e‾ zu A : I a steigt .

e‾-Wolke ; E 2 zwischen A & U a > best. Wert : I a steigt nicht mehr :

e‾-Wolke . E 2 bewirkt Strom I a von alle freigedampften e‾ sofort abgesaugt :

A nach K . Sättigungsstromstärke (Sättigungsbereich)

b) U a bei A neg. : Stromstärke aus 2) bis zu 0 A bei best. U a (3V-10V : Temp. / Heizstromabh.) : schnellsten e‾ erreichen A gerade nicht mehr : hatten W B = 3 eV :

Anlaufstrombereich .

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Fotoeffekt

Kennlinie:

Gasentladung

  1. Unselbständige Gasentladung :

Gasmoleküle el. neutral .

Gasgefüllte Fotozelle :

Cs-Fotozelle gefüllt mit Edelgas (Ne) & niedriger Druck : sonst wie Vakuumfotozelle (s.o.) . Kennlinien vergleichen : unterhalb von 18 V : Raumladungs- & Sättigungsbereich gleich ; U a > 18 V : Stromstärke I U a steigt stark an -Kennlinie :

Mehr Ladungsträger vorhanden . Unterhalb U a = U i = 18 V wegen Fotoeffekt e‾ aus Cs- Schicht herausgelöst , im E-Feld beschleunigt & von Quelle abgesaugt .

Für U a > U i erhalten Foto- e‾ aus E-Feld zusätzlich W B = e* U a > 18 V .

W ges der schnellsten e‾ so groß , dass sie Ne-Atome ionisieren können :

Stoßionisation : pos. Ionen & zusätzliche freie e‾ : I a nimmt zu .



U a groß genug : zusätzlich freie e‾ können ebenfalls Ne-Atome ionisieren : starke Stromverstärkung . Ionisierten Gasatome rekombinieren an K zu neutralen Atomen .

W für Molekülionisation heißt Ionisationsenergie / Ionisierungsenergie : Ne-Atome : W i = 21 eV : schnellsten e‾ haben 3 eV (Fotoeffekt) : müssen noch weitere 18 eV aus E-Feld aufnehmen .

Bemerkung :

Gas nicht stark verdünnt : freie e‾ schon nach kurzer Strecke gegen Atom stoßen : noch nicht genügend W aus Feld aufgenommen : können Atome nicht ionisieren .

Elektroskop mit Hochspannung gegen Erde geladen : keine Ladung fließt ab : Luft trotz hoher U Isolator . Flamme / radioaktives Präparat in die Nähe : genau dann fließt Strom : Luftmoleküle dadurch ionisiert : werden elektrizitätsleitend . Elektrizitätsleitung hält so lange an , wie von außen neue Ladungsträger erzeugt werden können .



(mittlere) freie Weglänge ( Flugstrecke ohne Stoß gegen Molekül) der e‾ zu gering .

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Teil der Luft abpumpen : Gas fängt an zu leuchten . A : rote Säule mit leuchtenden Schichten : zieht sich bei stärkerem Abpumpen zurück.


Selbstständige Gasentladung

K : bis zum Schluß (alle Luft draußen) violettes Leuchten ; anfangs von roter Säule (bis diese verschwindet) durch Dunkelräume getrennt . Violettes Licht : Ionen , die Moleküle ionisieren ; rotes Licht : e‾ , die Moleküle ionisieren : Ionen haben mehr W durch größere Masse : Bei Ionisation wird e‾ des Atoms auf höhere Schale gehoben , beim zurückfallen wird W in Form von Licht frei : Ionen können e‾ um 2 Schalen höher heben : mehr W wird frei : violettes Leuchten = energiereicheres Leuchten .

Elektromagnetische Induktion

Bei Spule : U ind um Anzahl der Wicklungen vergrößert .

Leiterschleife fällt in B-Feld

Leiterschleife wird im B-Feld gedreht

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Weiterer Versuch :

Kabelschleife im B-Feld zsmgezogen : A s (senkrecht durchsetzte Fläche ; s. Leiterschleife) ändert sich : U ind : U ind ~ A. s (= Änderung der felddurchsetzten Fläche).

Def.: Φ = B*A s & heißt mag. Fluss ( durch Fläche A s) .

Während ?t legt der Stab ?s = v s * ?t zurück : ?A s ändert sich :

?A s = d* ?s = d* v s *?t .

Induktionsgesetz ( 1. Formulierung)

Damit ist U ind = B* d* v s = B* d* Δs/Δt = B*ΔA s /Δt . Da B konst. : U ind = Δ(B*A s)/Δt = ΔΦ/Δt . Für belieb. v s = lim(Δs/Δt) für Δt -> 0s :

U ind = B* d*(lim(Δs/Δt) für Δt -> 0s) = lim(ΔΦ/Δt) für Δt -> 0s = Φ..

Induktionsgesetz : Ändert sich Φ durch Spule mit Windungszahl n , so wird wegen F L die U ind = n* Φ. induziert .

Induktion durch Wirbelfelder ( 2. Formulierung)

1.) >0 A/s: >0 T/s :U ind ~

2.) I = 100 mA konst. : B max

konst. : U ind = 0

Induktion ohne F L : In gr. Spule liegt kl. Spule , so dass deren A s ^ B (gr. Spule) . Gr. Spule fließt gleichmäßig ansteigender I : B wird gleichmäßig (linear) verändert .

Induktionsgesetz : U ind = n* Φ. : Ändert sich Φ (wird nach Produktregel abgeleitet : Φ = A s *B ) durch Spule mit Windungszahl n , so wird U ind induziert unabh. davon , ob sich A s oder B ändert .

Im Induktionsversuch : Schienen kurz-schließen : I fließt wegen U ind . freigesetzte /umgewandelte W :

W el = UQ = U*I*t = U ind *I* t = B* v s *d* I* t

Wirbelfelder

W mech = F* s (Kraft gegen F mag) = I* B* d* s = I* B* d* t* v s EES gilt !

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Lenzsches Gesetz

U ind stets so gepolt , das der von ihr hervorgerufene Strom der Ursache von U ind entgegen wirkt (Folge des EES) .

Aluring um Eisenkern in Spule : kann mittels S an Batterie angeschlossen werden .

Lenzsches Gesetz bei Flussdichteänderung

a) Einschaltvorgang

b) Ausschaltvorgang

  1. Stromkreis geschlossen : I steigt kurzzeitig stark an : >0 T/s ist sehr groß : Aluring fliegt weg : In ihm wird U ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld : ist entgegengesetzt zu B-Feld in Eisenkern : Abstoßung : Induziertes B-Feld so gerichtet , dass das anwachsende B-Feld der Spule geschwächt wird . Erklärung : s.o.

  2. Beim Ausschalten : I & B nehmen stark ab : < 0 T/s ist sehr groß : Aluring wird angezogen : In ihm wird U ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld : ist gleichgerichtet zu B-Feld in Eisenkern : Anziehung : U ind so gepolt , dass I ind B-Feld erzeugt , dass das abnehmende B-Feld aufrecht erhalten will . Erklärung : s.o.

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Flussänderung durch Änderung der Permeabilitätszahl
μ 0

Eisenstück in stromdurchflossener Spule : B nimmt zu , Stromstärke durch Spule während des Einführens kleiner. Erklärung : Spule selbst ist auch Induktionsspule : In ihr wird U so induziert , dass I ind der Zunahme von B entgegen wirkt : B-Feld der Spule allein wird kleiner : damit auch I : I = U/R = (U 0 + U ind)/R = (U 0 - n* Φ.)/R .

Beim Herausziehen ist Φ.< 0 (da < 0) : U ind pos. (bzgl. U 0) : I steigt ;

Beim Einführen ist Φ. > 0 (da > 0) : U ind neg. (bzgl. U 0) : I fällt .

Endgültige Formulierung des Induktionsgesetzes

U ind = - n*Φ. ( n von Induktionsspule) .

Selbstinduktion

Hinkender Strom

Selbstinduktion

Unterschied Induktion - Selbstinduktion :

Induktion : Spule induziert U ind in anderer Spule .

Selbstinduktion : Spule induziert U ind in sich selbst .

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Eigeninduktivität einer schlanken Spule

U ind = -n*Φ.

Φ = B*A = μ 0 μ r *I* A* n/l : U ind = -n* μ 0 μ r * *A* n/l = -L* ; L = μ 0 μ r *n² *A/l .

Allg.: L = -U ind / heißt Eigeninduktivität { 1 H = 1 T* m²/A } . Abweichungen durch nicht ideal schlanke Spulen : nicht homogen .

Einschaltvorgang

Einschalten : I(t) = U(t)/R = (U 1 + U ind)/R = (U 1 - L*(t))/R : (t) = -(R*I(t)-U 1)/L =(U 1 - R*I(t))/L ; t 0 =0s : (0s) =(U 1 - R*I(0s))/L =U 1 /L : |U ind | = L*(0s)= U 1.

Im 1. Augenblick ist U ind = U 1 .

Induktivität einer belieb. Spule

Gemäß L = U 1 /(0s) läßt sich die Induktivität aus dem Schaubild des Einschaltvorgangs (s.o.) bestimmen . (0s) ist die Steigung der Kurve I(t) zum Zeitpunkt t 0 = 0s . Den ohmschen Widerstand erhält man aus der Asymptote der I(∞) , dort (∞)= 0 A/s. I(∞) = U 1 /R : R = U 1 /I(∞) .

Ausschaltvorgang

U 1 = 0 V . : I(t) = U/R = (U 1 + U ind)/R = -L* /R

Energie des Magnetfeldes

P = U(t)*I(t) = U ind (t)*I(t) = -L* (t)*I(t). Bei kl. Zeitraum dt wird dW = P(t)*dt umgewandelt : W = 0P(t) dt = 0I(t)* (t) dt [Substitution] = -L I 10 I dI

= -L [½ I²]I 1 0 = ½ L*I 1 ²

I 1 = U 1 /R ist ursprüngl. Stromstärke vor Ausschalten .

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Wechselspannung / -strom

Rotierende Spule (s. Leiterschleife) in B-Feld : U ind = -n*Φ. ; Φ(t) = B*A s (t)

= B* A* cos(wt) = B* A* cos(α(t)) (α = wt heißt Phasenwinkel) :

U ind = (-)n* B* A* w*(-)sin(t) = n* B* A* w* sin(wt) = Û sin(wt) .

Rotierender Zeiger :

Bei Projektion :

U(t)

Zeigerdiagramm

Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

Versuch :

Wenn f der Wechselspannung U ~ genügend hoch : Lämpchen leuchtet konst. hell . Dafür Scheitelwert von Û ~ = 15 V nötig . Bei Gleichspannung benötigt gleich hell leuchtendes Lämpchen Gleichspannung U = = 10 V .

Def. : Der Effektivwert einer U ~ gibt diejenige U = an , die nötig ist , um beim selben R die gleiche mittlere Leistung hervorzubringen : U eff , analog : I eff .

Effektivwerte sin-förmiger Wechselspannungen

Bei R = U/I : Momentanleistung : P(t) = U(t)*I(t) = U²(t)*1/R = I²(t)*R , mit

U(t) = Û sin(wt) : P(t) = Û ² sin ²(wt)*1/R = ½ (1 - cos(2wt))*Û ²/R .

Um Pzu erhalten : P = ΔW/Δt : ΔW = 0st 1 P(t) dt

= (t 1 - (1/(2w)) sin(2wt 1))*Û ²/(2R) ;

Δt = t 1 - 0s : P = Û ²/(2R) - Û ² sin(2wt 1) / (4w*R*t 1) ;

t 1 -> ∞ : P = Û ²/(2R) = U² eff /R (s.o.) : U eff = Û / √2 .

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Spule im Wechselstromkreis

-> (resultierender) Strom I(t) hinkt der angelegten U hinterher .

Herleitung der Stromstärke im L-Kreis

I in Spule : I(t) =(U 1 (t)+ U ind (t))/R =(U 1 (t) - L* (t))/R : R*I(t)= U 1 (t) - L* (t) . Annahme : R = 0 Ω : L*(t) = U 1 (t) bzw. (t) = U 1 (t)/L : I(t) = ∫(t)dt = ∫U 1 (t)/L dt = Û/L ∫ sin(wt) dt = - cos (wt)*Û/(L* w) + c ( c = Gleich-/ Grundstrom) .

Erg.: I(t) ~ -cos(wt) = sin(wt - 90°) : I hinkt angelegtem U um 90° hinterher (bei R = 0 Ω) . Bem.: c ist immer 0 A sobald R nicht exakt 0 Ω .

Def.: induktiver Blindwiderstand X L = Û/ î = Û/(Û/w* L) = w* L .

Blind- und Wirkwiderstand zugleich : L-R-Kreis

X L & R in Reihe geschaltete Widerstände : I(t) ist überall gleich . Spannungsabfall am R : U R (t) = R*I(t) ; Spannungsabfall am X L : U L (t) = X L*I(t) . U R ist in Phase mit I(t) ; U L eilt I(t) um 90° voraus .

Zeigerdiagramm :

Beim Drehen : Û erreicht vor î Max. : hinterherhinken bedeutet : die entsprechende Kurve liegt weiter re. (wenn U R groß : U L klein) .

Û ² = Û ² L + Û ² R = R²I² + (w* L)² I² : Û = î *√(R² + (w* L)²) Gesamt- / Scheinwiderstand : Z = √(R² + X L²)

φ zwischen angelegtem U & I : tanφ = Û L R = X L /R = w* L/R .

Ist U(t) = Û sin(wt) so fließt I(t) = î sin(wt - φ) .

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Kondensator im Wechselstromkreis

Stromstärke im C-Kreis

Gesamtspannung : U(t) = U 1 (t) + U C (t) = I(t)*R ; mit R = 0 Ω & U C (t) = -Q(t)/C :

Q(t)/C = U 1 (t) : I(t) = (t) = C*U.1 (t) ; mit U 1 (t) = Û sin(wt) :

I(t) = C*Û *w* cos(wt) . Def.: Kapazitive Widerstand X C = Û/ î

= Û/(C*Û *w) = 1/(w* C) . Bem.1.: bei sin-förmigen U ~ : I eff = î /√2 ,

analog U eff : X C = U eff /I eff = 1/(w* C) . 2.: X C ist Blindwiderstand : keine W el in innere W umgewandelt .

Der R-C-Kreis

Scheinwiderstand Z = √(R² + X C ²) = Û 1 / î ;

tan φ = Û C R = X C /R = 1/(w* C* R) (φ hier neg.) . Û C hinkt I(t) um 90° hinterher

Der R-C-L-Kreis

Z = Û/ î = √(R² + (X L - X C)²) = √(R² + (w* L - 1/(w*C))².

Resonanz

Bei best. f 0 (bzw. w 0) : I(t) wird max. : Resonanz(-f) :

Bedingungen(äquivalent zueinander : wenn 1 vorliegt , liegen auch die anderen vor) : I max. ; φ = 0 ; Z min. , d.h. Z = R ; Û R = Û ; Û L = Û C ; Û L & Û C max. ;

X L = X C : w 0 *L = 1/(w 0 *C) : w 0 = √(1/(L*C)) : f 0 = √(1/(L*C))*1/(2p) .

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Leistung im Wechselstromkreis

X L , C : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (-) î cos(wt)

R : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = î sin(wt)

P(t) = U(t)*I(t) : Momentanleistung

  1. R : P(t) = I²(t)*R ≥ 0 W

  2. X C : P(t) = - Û sin(wt)* î cos(wt) : Laden : P(t) > 0 W ; Entladen : P(t) < 0 W : C liefert W an die Quelle : In 1 Periode ist Gesamtleistung = 0 W .

  3. X L : Analog zu b) (ohne - ; W el wird W mag wird W el ...) .

Def.: 1.) mittlere Leistung P‾ heißt Wirkleistung (W der Quelle pro Sekunde) .

2.) ohne R : P‾ = 0 W ; der dabei fließende Strom ist ein Blindstrom .

Wirkleistung bei einer Siebkette R-C-L-Glied

U(t) = Û sin(wt) = Û sin(α) ; I(t) = î sin(wt - φ) = î sin(β) ; P(t) = Û * î sin(wt)sin(wt - φ) (P(t) über Zeit integrieren liefert W)

Einschub : sin α *sin β = ½ (cos(α - β) - cos(α + β))

Ferner gilt : Û * î = √(2) *U eff *√(2) *I eff = 2*U eff *I eff :

P(t) = 2*U eff *I eff *½(cos φ - cos(2wt - φ)) = U eff *I eff *cos φ .

cos(2wt - φ) hebt sich über 1 Periode gemittelt auf , cos φ heißt Leistungsfaktor .

Zeigerdiagramm :

Transformatoren

Unbelasteter Trafo: Belasteter Trafo :

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Der ideale Trafo

Def.: idealer Trafo : R der Primärspule (PS) = 0 Ω , von PS erzeigte Fluss Φ durchsetzt Sekundärspule (SS) vollständig (gut geschlossene Eisenkerne) .

Der unbelastete Trafo

Primärseite : Sekundärseite :

R 1 = 0 Ω : I Prim = Blindstrom , U 1 Induktionsgesetz : Durch Flussänderung

& I Prim sind 90° phasenverschoben . Φ. : wird in SS U 2 (t) = -n 2.(t)

Verbraucht im Leerlauf keine W . induziert . Da Trafo unbelastet : fließt

X L sehr gr. : I Prim sehr kl. kein Strom im Sekundärkreis : Fluß Φ

Durch Selbstinduktion : wird nicht verändert .

U ind (t) = -n 1.(t) = - U 1(t) .

Gleichsetzen der Flussänderung :

U 2 (t)/U 1(t) = -n 2 /n 1 = - ü , für Effektivwerte : U 2 , eff /U 1, eff = n 2 /n 1 = ü

Der belastete Trafo

An SS Wirkwiderstand R legen : Wirkstrom I 2 = U 2 /R : entnommenes P‾ stammt von PS (EES) : dort zusätzlich zum Blindstrom I 1, blind (mit Φ = 90°) ein Wirkstrom I 1 (mit Φ = 0°) : P‾ = I 2 , eff *U 2 , eff = I 1, eff *U 1, eff :

I 2 , eff /I 1, eff = U 1, eff /U 2 , eff = n 1/n 2 = 1/ü .

Bem.: Wegen I 1, blind ist I 1, ges > ü* I 2 (Bei guten Trafos : I 1, blind ≈ 0A , da X L groß ; bei realen Trafos , wegen

R Prim ≠ 0 Ω , noch sehr kl. Wirkstrom in PS : verfälscht obere Gleichung) .

Erg.: Spannungen : U 2 , eff /U 1, eff = n 2 /n 1 = ü (U 2 richtet sich nach U 1) ;

Wirkströme : I 2 , eff /I 1, eff = n 1 /n 2 = 1/ü (I 1 richtet sich nach I 2)

Anwendungen : n 2 <<n 1 , sehr kl. R Sek : sehr hoher I 2 : Schweißtrafo ;

n 2 >>n 1 : U 2 >>U 1 : Hochspannungstrafo (U 2 wegen auftretender Leistung lebensgefährlich) .

Bei Eisenkernen aus einem Stück : Vergrößerung I 1 : es treten Wirbelströme auf , die Energie aufnehmen : Trafokerne aus Eisenplättchen aufgebaut , die gegeneinander isoliert sind .

Andere Erklärung : a) unbelasteter Trafo : U 1 (t) = Û 1 sin(wt) :

PS : I 1 (t) = î 1, blind cos(wt) (Blindstrom) : verursacht Fluss :

SS : U 2 (t) = - Û 2 sin(wt) , I 2 = 0 A .

b) belasteter Trafo : SS + R : SS : U 2 (t) = - Û 2 sin(wt) , I 2 , w (t) = -î 2 , w sin(wt) (Wirkstrom) : zusätzlicher Fluss : U 1, ind (t) = -Û ind cos(wt) :

I 1, w (t) = î 1, w sin(wt) .

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I 1, prim besitzt f < 90° zur angelegten Spannung U 1 .

Wirkleistung : P? = Û 1 * î 1 cos f

bzw. P? = Û 1 * î 1, w :

Wirkströme : î 2 , w / î 1, w = Û 12 = n 1 /n 2

= 1/ü .


Zeigerdiagramm der PS :

Transport elektrischer Energie

Überlandleitungen sind Hochspannungen :

Reihenschaltung von Lampe (R = 100 Ω) & R = 1 kΩ (R der Leitungen) : An Leitungen fällt daher Großteil (90%) der Spannung ab : 90% der el. W bzw. Leistung in Leitungen verbraten : W / P , die an Lampe abfällt reicht nicht mehr um sie zum Brennen zu bringen .

Energietransport mit Hochspannungs- Hochstromtrafos :

Þ Lampe brennt

Erklärung : P Lampe = 0,16 W entnommen aus Trafos , über Leitungen transportiert. Dort auf U = 120 V hochtransformiert : nur Stromstärke von I = P/U = 0,0013 A nötig .

Dieses I bewirkt , dass in Zuleitungen nur geringe Spannung abfällt :

P Leitung = R*I² = 0,0018 W wird in Leitungen verbraten , ca. 1% der Leistung (s.o.).

Bem.: P = U*I = R*I² = U²/R , obige Daten einsetzen : P = 19,6 W falsch :

Schaltung besteht aus R und X L der Trafos : R = U/I gilt nicht , ist vielmehr Reihenschaltung : dort für Spannungsabfall an Widerständen : U = R*I .

Differentialgleichungen

Bsp.: Harmonische mechanische Schwingung

Lin. Kraftgesetz : F = -D*s (allg.: F res = F = m*a)

Beschleunigung : a(t) = F(t)/m = -s(t)*D/m , mit a = & v = : a = :

s(t) = -s(t)*D/m = -k*s(t) , k = D/m (DGL einer Funktion) .

Lsg. der DGL :

Lsg.ansatz raten : s(t) = ŝ sin(wt + φ) : (t) = ŝ* w* cos(wt + φ) : (t) =

-ŝ *w² sin(wt + φ) = -w² * s(t) ; Vergleich mit DGL : w = √ k = √(D/m) : Für harm. Schwinger mit Richtgröße D & Masse m gibt es also ∞-viele

Lsgfunktionen (ŝ , φ unbestimmt) : Bei konkreten Schwing. Anfangsbed. (s(0s) ; v(0s)) bekannt können ŝ & φ bestimmt werden .

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Bsp. ungedämpftes Pendel

3.) Anfangsbed. : (t) = -w² *s(t) ; w = √(g/L) = 3,13 1/s , ŝ = 5 cm ,

s(0s) = 3 cm : s(0s) = 3 cm = 5 cm*sin(3,13*0s + φ 0) : sin(φ 0) = 0,6 : φ 0 = 36,9°

Lsgfunktion : s(t) = 5 cm * sin(3,13 Hz * t + 0,64) : Winkel im Bogenmaß , da 3,13 Hz auch im „Rad“ .

Elektromagnetische Schwingungen

In diesem Schwingkreis wird W el (t) = ½ CU²(t) in W mag (t) = ½ L*I²(t) umgewandelt &

umgekehrt . I(t) & U(t) haben Phasenwinkel von 90°. In R wird Teil der W in innere W umgewandelt : Schwingung gedämpft .

DGL der ungedämpften el.mag. Schwingung (R = 0 Ω)

Selbstinduktionsspannung : U L (t) = -L* (t) = U C (t) = Q(t)/C : -L*(t) = Q(t)/C

mit I(t) = (t) : -L*(t) = Q(t)*1/C : (t) = -Q(t)*1/(L*C) DGL .

Thomsonsche Schwingungsgleichung

T = 2p Ö(L*C) . Standard Anfangsbed.: t 0 = 0s : C max. geladen :

Q C (t 0) = , Q C (t 0) = sin(wt 0 + φ 0) = : sin φ 0 = 1 : φ 0 = p/2 . Erg.: Q(t) = cos(wt) = sin(wt + p/2) Ladung auf C ;

U(t) = Q(t)/C = cos(wt)* /C = Û cos(wt) Spannung am C ;

I(t) =(t) = - *w* sin (wt); î = *w = Û *C/√(L*C) = Û *√(C/L) .

 

 

 

 

 

 

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Energiebetrachtung im ungedämpften Schwingkreis

Q(t)= sin(wt + φ 0) ; U(t)= sin(wt + φ 0)* /C ; I(t)= *w* cos(wt + φ 0) (s.o.).

Gesamtenergie : W(t) = W el + W mag = ½ CU²(t) + ½ L*I²(t)

= ½ C(/C)² sin ²(wt + φ 0) + ½ L² w² cos ²(wt + φ 0)

= ½ ²/(C)*sin ²(wt + φ 0) + ½ L² 1/(L*C)*cos ²(wt + φ 0)

= ½ ²/(C)*(sin ²( wt + φ 0) + cos ²(wt + φ 0)) = ½ ²/C = ½ C Û² = ½ L î ² .

Der gedämpfte Schwingkreis

Um gedämpften Schwingkreis aufrechtzuerhalten muß zu geeigneten Zeitpunkten W eingespeist werden .

. Manuell

2. Transistor- / Meißnerschaltung

Funktion des Transistors :

Arbeitspunkt :

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Erzwungene Schwingungen

Beob.: Resonanz tritt auf (analog zu mech. Schwing.) : Amplitude von Û C ist bei f 0 max. Für Phasenwinkel zwischen anregender Schwing. (Spannung am Frequenzgenerator) & erzw. Schwing. (U C) gilt :

Hochfrequente Schwingungen

Anwendungen

Hochfrequenzherd-Mikrowellenherd ; Hochfrequenz-Induktionsofen zum Schmelzen von Metallen ; Radio ; Fernsehen , ... .

Nachweis hochfrequenter Schwingungen

  1. Oszilloskop (bis zu wenigen MHz)

  2. Frequenzzähler (ca. 1 MHz)

  3. Mit einer durch ein Lämpchen kurzgeschlossenen Spule

  4. Mit










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