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Doppler-Effekt


Doppler-Effekt


I. Der akustische Doppler-Effekt


Beispiele/Beobachtungen:


w Eine Stimmgabel wird angeschlagen und vom Empfänger hin und weg bewegt




Unterschiede in der hörbaren Frequenz

w Ein nahender Zug, ein entfernender Zug

Unterschiede in der hörbaren Frequenz

w Ein Schwimmer, der gegen und mit den Wellen schwimmt

höhere/niedrigere Frequenz, der Wellen beim Empfänger


Erkenntnis:


Die Frequenz und die Wellenlänge einer Welle ändern sich, wenn der Beobachter und der Wellenerreger sich relativ zueinander bewegen. (Doppler-Prinzip)


Man unterscheidet hierbei drei Fälle:


Der Wellenerreger W und der Beobachter B sind relativ zum Medium der Wellenausbreitung (z.B. Wasser, Luft, etc.) in Ruhe


c - Eigengeschwindigkeit der Welle

= T1*c           mit T1 = 1/f1 = c/f1                        f1 = c/


es ergeben sich keine Unterschiede zu dem Bekannten, da das Medium relativ zu W und B in Ruhe ist auch wenn es sich bewegt


Der Wellenerreger ist relativ zum Medium der Wellenausbreitung in Ruhe und der Beobachter bewegt sich relativ zu diesem Medium mit konstanter Geschwindigkeit v a) auf W zu oder b) von W weg


a)      T2 sei die Zeit, die eine Welle braucht um B zu passieren

Relativgeschwindigkeit zwischen B und Wellenzug beträgt  c + v


= T2*(c+v)    mit T2 = 1/f2 =(c+v)/f2

mit = c/f1                  c/f1 = (c+v)/f2 f2 = f1*(c+v)/c

f2 = f1*(1+v/c)


b)      T3 sei die Zeit, die eine Welle braucht um B zu passieren

Relativgeschwindigkeit zwischen B und Wellenzug beträgt  c - v


= T3*(c+v)    mit T3 = 1/f3 =(c+v)/f3

mit = c/f1                  c/f1 = (c+v)/f3 f3 = f1*(c-v)/c

f3 = f1*(1-v/c)


es ergeben sich neue Frequenzen, die sich von der ursprünglichen Frequenz nur um einen Faktor unterscheidet, der von den Geschwindigkeiten der Welle und des Beobachters abhängig ist

Der Beobachter ist relativ zum Medium der Wellenausbreitung in Ruhe und der Wellenerreger bewegt sich relativ zu diesem Medium mit konstanter Geschwindigkeit v a) auf B zu oder b) von B weg


a)      n - Strecke, die der Anfang des Wellenzuges vom Ausgangspunkt zurückgelegt hat,

wenn die letzte Welle den Wellenerreger verlassen hat

nTv - Strecke, die der Wellenerreger vom Ausgangspunkt in nT zurückgelegt hat

T4 - Zeit die der Wellenzug benötigt um B zu passieren

nT4c - Länge des Wellenzuges, die bei B gemessen wird


n - nTv = nT4c          mit T1 = 1/f1 und T4 = 1/f4 c/f4 = - v/f1

mit = c/f1                             c/f4 = c/f1 - v/f1

f4 = f1/(1-v/c)


Betrachtung der Wellenlänge:


mit = c/f      f = f4 * (1-v/c)



b)      n - Strecke, die der Anfang des Wellenzuges vom Ausgangspunkt zurückgelegt hat,

wenn die letzte Welle den Wellenerreger verlassen hat

nTv - Strecke, die der Wellenerreger vom Ausgangspunkt in nT zurückgelegt hat

T5 - Zeit die der Wellenzug benötigt um B zu passieren

nT5c - Länge des Wellenzuges, die bei B gemessen wird


n + nTv = nT5c          mit T1 = 1/f1 und T5 = 1/f5 c/f5 = + v/f1

mit = c/f1                             c/f5 = c/f1 + v/f1

f5 = f1/(1+v/c)


Betrachtung der Wellenlänge:


mit = c/f      f = f5 * (1+v/c)



Eine Betrachtung der Wellenlängenänderung ist hier nur sinnvoll, wenn sich der Wellenerreger relativ zum Medium der Wellenausbreitung bewegt, da hierbei physikalisch sichtbare Anderungen stattfinden, die durch eine Verengung des Wellenzuges wahrzunehmen sind. Bewegt sich der Beobachter relativ zu einem Wellenerreger, der relativ zum Medium der Wellenausbreitung in Ruhe ist, so ändert sich physikalisch nicht die Länge des Wellenzuges, auch nicht relativ für den Beobachter, der nur Frequenzänderungen wahrnimmt.



Besonderheit:


Bewegt sich eine Schallquelle schneller als die von ihr ausgesandte Welle so bündeln sich die Wellenfronten und erzeugen eine Schallmauer, die wir als lauten Knall wahrnehmen. Wenn das Flugzeug die Schallgeschwindigkeit überschreitet, durchbricht es die Schallmauer und erzeugt eine verstärkte Druckwelle, einen Überschallknall.



II. Der optische Doppler-Effekt (Lichtwellen oder elektromagnetische Wellen)


Beispiel/Beobachtung:


w Sterne, die sie sich von der Erde weg bewegen

Linien im Spektrum der Sterne erscheinen zum Rot hin verschoben (Rotverschiebung)



Erkenntnis:


Der Doppler-Effekt muß auch für Lichtwellen gelten.





Unterschied zum akustischen Doppler-Effekt:


Zuvor mußte man Unterscheiden ob sich der Wellenerreger oder der Beobachter relativ zum Medium bewegt. Hier muß man diese Unterscheidung nicht mehr treffen, da zur Wellenausbreitung von Lichtwellen oder elektromagnetischen Wellen kein Medium wie Wasser oder Luft nötig ist (Dinge sind im Vakuum sichtbar).


so muß es egal sein ob sich der Sender bewegt oder der Empfänger


Beide Formeln müssen somit ineinander übergehen:


Beobachter entfernt sich: Wellenerreger entfernt sich:

f3 = f1*(1-v/c)                           f5 = f1/(1+v/c)



Da es sich hierbei um große Geschwindigkeiten handelt muß man die nach der Relativitätstheorie auftretende Zeitdilatation berücksichtigen. So muß man die Formel mit je einem Faktor korrigieren:


Da die Zeit beim bewegten Beobachter langsamer vergeht, ändert sich die Sendefrequenz f1 und ist um den Faktor 1/(1-v²/c²)1/2 erhöht.


So ergibt sich:

f3 = f1*(1-v/c)/(1-v²/c²)1/2

Da die Zeit beim bewegten Sender langsamer vergeht, ändert sich die Sendefrequenz f1 und ist um den Faktor (1-v²/c²)1/2 erniedrigt.



So ergibt sich:

f5 = (f1/(1+v/c))*(1-v²/c²)1/2


Nach Umformungen erweisen sich beide Formeln als identisch:


f6 = f1*((1-v/c)/(1+v/c))1/2


Betrachtung der Wellenlänge:


mit = c/f       f = f6 *((1-v/c)/(1+v/c))1/2




Anwendungsmöglichkeit des Doppler-Effekts:


Man kann z.B. bei Sternen, die sich von der Erde weg bewegen, schon alleine über die Linien im Spektrum der Sterne bestimmen mit welcher Geschwindigkeit sich diese Sterne von der Erde weg bewegen.

Hierbei macht man sich die Formel von der neuen Wellenlänge zu nutze.

Weiterhin kann man Rotationen von Galaxien ermitteln und Strömungen interstellarer Materie verfolgen.


Text Box: Abb. 01:   Wellengeschwindigkeit > Geschwindigkeit des Wellenerregers

Die Machzahl (Ernst Mach 1838-1916)


Ernst Mach stellte eine einfache Formel auf, die das Verhältnis von Wellenerregergeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit ausdrückt. Die Einheit des Verhältnisses wurde nach Mach benannt.


Einheit:            1M = 1 Mach

Formel:            M = v/c


Text Box: Abb. 02:   Wellengeschwindigkeit = Geschwindigkeit des Wellenerregers

Da bei v = c, siehe Abb. 02, das Verhältnis 1 Mach vorliegt, entspricht ein Mach der Schall-geschwindigkeit c. Bei v > c entsteht ein Machscher Kegel, siehe Abb. 03, der einen Öffnungswinkel a hat, den man durch die Beziehung sin a/2 = 1/M erhält.



Text Box: Abb. 03:   Wellengeschwindigkeit < Geschwindigkeit des Wellenerregers


Literaturangabe:


w Metzler Physik 2.Auflage

w Encarta Enzyclopedia 99

w Bergmann-Schäfer: Teilchen

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Christian Tummel w Referat: Doppler-Effekt w 12.04.1999









































































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