1. Der Vorspann.
Die Geschichte beginnt, nein, nicht mit Einstein, sondern
mit M.Faraday.
Heute kennen nicht mehr so viele Leute Faraday, doch in
dem letzten Jahrhundert war Faraday DER Wissenschaftler 33524cmy28dgh5i
und das Genie berhaupt gewesen. Faraday hatte viele
Experimente mit der Elektrizit“t und dem Magnetismus ge-
macht, damals verstand man noch nicht sehr viel von
diesen beiden Ph“nomenen. Er hatte fast alle Er- mg524c3328dggh
scheinungen experimentell herausgefunden, die mit diesen
beiden Ph“nomenen zu tun hatten. Zum Beispiel, daá die
elektrische Ladung ein elektrisches Feld erzeugt, und da-
mit eine elektrische Spannung; oder daá es keine
magnetische Ladung gibt; oder daá ein in einem Magnetfeld
bewegter Leiter Strom erzeugt; oder daá ein Strom ein
Magnetfeld erzeugt, und so weiter.
Doch Faraday war ein Autodidakt, er hatte nie eine rich-
tige Ausbildung genossen. Dieses Handycap schlug sich da-
rin nieder, daá er die Mathematik nicht verstand. Und
er wehrte sich auch, die Mathematik zu benutzen. Alle
seine Ver”ffentlichungen sind nicht in "normaler" Sprache
geschrieben, die Beschreibung der Versuche ist manchmal
so umst“ndlich und unklar, daá jemand groáe Schwierig-
keiten bekommen k”nnte, wenn er heute diese Ver”ffent-
lichungen noch lesen will. Das ist sehr wahrscheinlich
auch der Grund, warum der Name Faraday heute nicht mehr
so gl“nzt wie einst.
Der Gegenpol zu Faraday ist James Maxwell. Maxwell galt
schon als der beste Mathematiker an der Cambridge Univer-
sit“t, als er noch ein Student war. Im Gegensatz zu der
Liebenswrdigkeit Faradays war Maxwell eher abweisend. Er
hatte groáe Schwierigkeiten mit Leuten, die weniger
"intelligent" waren als er. Das ist wahrscheinlich auch
der Grund dafr, warum er zu seiner Lebzeit wenig bekannt
war, und erst in unserem Jahrhundert als ein Supergenie
wiederentdeckt wurde.
Nun, Maxwell hatte keine Experimente mit der Elektrizi-
t“t gemacht. Was er tat: Er zog sich in seine schottische
Heimat zurck, las die Abhandlungen von Faraday durch,
und bersetzte sie komplett in die mathematische Sprache.
So entstand die Elektrodynamik.
Selbst heute mssen sich die Studenten der Elektrotechnik
und der Physik mit der Elektrodynamik abmhen, in der E-
Technik ist dieses Fach "der Hammer" berhaupt,
haupts“chlich wegen seiner schwierigen Mathematik.
Mathematik ist auf der einen Seite sehr abstrakt und
deswegen undurchschaubar, auf der anderen Seite aber ist
sie gerade wegen ihrer Abstraktheit sehr ntzlich, denn
mit der selben Gleichung kann man sehr verschiedene
Sachen beschreiben, wie z.B. die Entstehung des Lichts,
die Bewegung der Elementarteilchen und die Schwingung
einer Gitarrensaite. Und noch was, die Mathematik erlaubt
Vorhersagen, die durch einfache Anschauung nur schwer
m”glich sind. So sagte Maxwell mit seinen Gleichungen
voraus, daá die Lichtgeschwindigkeit eine allgemeine
Naturkonstante sein muá. Sie ist also berall im ganzen
Universum die gleiche.
Das ist eine ungeheure Behauptung. Denn wir wissen alle
aus dem Alltagsleben, daá die Geschwindigkeit vom
Betrachter abh“ngig ist. Ein Auto, das mit 100 km/h auf
der Landstraáe neben mir (ich bin n“mlich ein Touren-
radler) vorbeirauscht, erscheint fr mich immer sehr
bedrohlich und schnell. Fr einen Autoraser mit 200 km/h
auf der Autobahn wirken die anderen Autofahrer, die mit
100 km/h fahren, als ob sie stehen.
Warum soll sich das Licht anders verhalten, als alles
andere auf der Welt?
Viele Physiker von damals (vermutlich auch Maxwell
selbst) glaubten, daá irgendwas bei der Elektrodynamik
falsch sei. Ein Grund, neben der Schwierigkeit mit der
Mathematik, warum sich die Elektrodynamik nur schwer
durchsetzte. Das Problem war aber, daá die Elektrodynamik
bei allen anderen Ph“nomenen (bis auf eines, das schlieá-
lich zu der Quantenmechanik fhrte) richtige
Beschreibungen und Vorhersagen lieferte.
Wie immer in der Physik, versucht man, wenn etwas nicht
mehr stimmt, mittels Experimenten diese Vorhersage zu
widerlegen. Das ist aber nicht so einfach, denn das Licht
bewegt sich sehr schnell. Eine Zeit lang hatte man das
Problem, festzustellen, ob das Licht nicht eine unendlich
groáe Geschwindigkeit habe. Eine Geschwindigkeit von
10km/s scheint fr uns sehr sehr groá zu sein. Im
Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit mit 300 000 km/s sind
das aber nur 0.03 Promille, was fast nicht mehr fest-
stellbar ist. Den Unterschied zwischen 300 000 km/s und
300 010 km/s festzustellen, ist fast unm”glich.
Ende des letzten Jahrhunderts gelang Michelson doch das
Experiment. Dabei nutzte er den Doppler-Effekt und die
Interferenz des Lichts aus. Mit einem Beispiel kann man
verdeutlichen, welche groáe Genauigkeit man mit diesen
beiden Effekten erreichen kann: die von den meisten
Autofahrern gefrchtete Radarfalle funktioniert
(ungef“hr) nach diesen Prinzipien. Natrlich sind die
Radarfallen gegenber der Anordnung von Michelsons viel
ungenauer. Ferner nutzte Michelson die Bahnbewegung der
Erde aus, die ungef“hr 30 km/s betr“gt. Doch das
Experiment ging leer aus. Man konnte den Geschwindig-
keitsunterschied von Licht, verursacht durch die Bewegung
der Erde, nicht feststellen. Entweder stimmte etwas mit
dem Experiment nicht, oder Maxwell h“tte doch Recht
gehabt. (Leider war Maxwell zu diesem Zeitpunkt schon
verstorben - er h“tte wom”glich noch die Tragweite des
Experiments erkannt.)
Auf jedem Fall erhielt das Experiment (aus irgendeinem
unverst“ndlichen Grund) keine groáe Beachtung. Zur
gleichen Zeit arbeitete in Holland Lorentz an der
Erweiterung der Maxwellschen Theorie, vor allem an der,
was passiert, wenn ein elektrisch geladener K”rper sich
im Vakuum bewegt. Er erarbeitete die berhmte
Transformationsformel aus, die bis heute seinen Namen
tr“gt.
Um damit was anzufangen, muá man erst wissen, was
Koordinaten sind. Wenn zum Beispiel jemand in einer
fremden Stadt nach einem Haus fragt, bekommt er sehr
wahrscheinlich die Antwort: Gehen Sie 50 m weiter bis zur
n“chsten Kreuzung, dann biegen Sie nach links, gehen Sie
etwa 10m, usw. Dabei hat der Antwortende unabsichtlich
ein karthesisches Koordinatensystem benutzt: In der
Richtung nach vorne (x-Richtung) 50 m, in der Richtung
nach links (y-Richtung) 10m, usw. Oder mathematisch
geschrieben: das Haus befindet sich am Ort (50, 10)m.
Es ist klar, daá diese Angabe von dem Ort abh“ngig ist,
wo sie gemacht wird. W“re der Fremde direkt vor dem Haus
gestanden, (kann ja auch mal passieren, ist mir auf jeden
Fall schon mal passiert) dann wrde man sagen: "Das Haus
liegt direkt vor Deiner Nase." Es h“tte dann die
Koordinaten (0, 0) m. Natrlich gibt es M”glichkeiten,
diese beiden Koordinaten ineinander umzurechnen. Und
eine solche Umrechnung heiát eine Koordinaten-
transformation (oje, oje, ist das ein Name).
In unserem allt“glichen Leben benutzt man die Galilei-
Transformation. Sie ist eigentlich sehr einfach: Flens-
burg liegt 310 km n”rdlich von Braunschweig. Hamburg
liegt 145 km n”rdlich von Braunschweig. Daher liegt
Flensburg 165 km n”rdlich von Hamburg.
Die Mathematiker wrden sagen: Die Koordinate von Flens-
burg fr Braunschweig ist X1=310 km. Der Abstand zwischen
Hamburg und Braunschweig ist DX=145 km. Daher ist die
Koordinate von Flensburg fr Hamburg X2=X1-DX=165km. Also
eine einfache Subtraktion.
Das Gleiche gilt auch fr die Zeit: Jesus wurde vor 1993
Jahren geboren (T1=-1993 Jahre). Barbarossa wurde vor
838 Jahren zum Kaiser gekr”nt (DT=-838 Jahre). Daher
wurde Jesus 1155 Jahre vor der Kr”nung Barbarossas
geboren (T2=T1-DT=-1155 Jahre).
Da die Geschwindigkeit dem Weg proportional ist, der pro
Zeiteinheit zurckgelegt wird, erfolgt die Galilei-
Transformation fr die Geschwindigkeit ebenfalls mit
einer einfachen Subtraktion.
Alles einfach und einleuchtend.
Kompliziert wird es bei der Lorentz-Transformation. Und
damit werden wir uns im n“chsten Vortrag besch“ftigen.
2. Lorentz und seine Transformation
Lorentz ist bestimmt DER wichtigster Physiker des aus-
gehenden 19. Jh. Auch wenn heute sogar die meisten
Physiker nicht mehr wissen, wer Lorentz eigentlich war.
Einstein beklagte: "Die Physiker der jngeren Generation
sind sich meist der entscheidenden Rolle, welche H.A.
Lorentz bei der Gestaltung der fundamentalen Ideen in der
theoretischen Physik spielte, nicht mehr voll bewuát."
(A.E. "Aus meinen sp“ten Jahren") Er sagte anschlieáend,
daá ohne die Arbeit von Lorentz die Relativit“tstheorie
nicht m”glich gewesen w“re. Ein anderer Nobelpreis-
Physiker, Emilio Segre wrdigte: "Lorentz' Wurzeln liegen
bei Fresnel und Maxwell, w“hrend die Krone Planck und
Einstein berhrt." Kein Zweifel. Er ist der Brckenschlag
zwischen der klassischen und der modernen Physik.
Lorentz wurde in Holland geboren und blieb Zeit seines
Lebens in Holland, abgesehen von einigen Reisen, die ihn
nach Deutschland, Frankreich, England und die USA fhr-
ten. Man kann Lorentz als einen typischen Universit“ts-
professor ansehen. Er ist h”flich, zurckhaltend und
fachkundig. Er fhrte ein sehr ruhiges, geordnetes Leben,
heiratete eine Verwandte seines Kollegen und hatte viele
Kinder mit ihr. Alles in allem war es eine typisch
brgerliche Familie, w“re der Vater nicht Nobelpreis-
tr“ger geworden.
Lorentz war derjenige, der die Elektrodynamik, wie sie
von Maxwell hinterlassen wurde, in all ihren Konsequenzen
theoretisch bearbeitete. Dabei nahm er auch an, daá die
Lichtgeschwindigkeit konstant bleibt, in allen Koordina-
tensystemen. Dies hatte jedoch zur Folge, daá die uns ge-
wohnte Galilei-Transformation fr die Geschwindigkeit
ihre Gltigkeit verloren h“tte. Auch wenn jemand mit
halber Lichtgeschwindigkeit fliegt, bleibt fr ihn die
Lichtgeschwindigkeit 300 000 km/s, nicht etwa wie von
Galilei vorhergesagt 150 000 km/s! Durch konsequente
Anwendung der Mathematik entwickelte Lorentz stattdessen
eine neue Transformationsregel, die heute seinen Namen
tr“gt: Die L.-Transformation.
Wie im ersten Teil dieser Serie beschrieben wurde, ist
die Galilei-Transformation eine einfache Subtraktion:
T2 = T1 - DT
X2 = X1 - DX
Das alles gilt auch, wenn sich jemand bewegt. Man braucht
nur eine kleine Žnderung zu machen. Ein Beispiel soll das
verdeutlichen.
Flensburg liegt 310 km n”rdlich von Braunschweig. Hamburg
liegt 145 km n”rdlich von Braunschweig. Jemand f“hrt mit
einem Auto mit 100 km/h von Hamburg nach Norden (wir neh-
men an, daá es eine gerade Straáe zwischen den drei St“d-
ten gibt). Genau um Mitternacht, also 0 Uhr, f“hrt er von
Hamburg los. Um 0 Uhr liegt also Flensburg 165 km
n”rdlich von ihm. Um 1 Uhr liegt Flensburg nur noch 65 km
n”rdlich von ihm, denn in dieser Zeit ist sein Wagen um
210 km n”rdlich von Braunschweig. Um 2:39 Uhr ist er in
Flensburg angekommen.
Die Galilei-Transformation fr diesem Fall ist
X2 = X1 - DX - V * T1.
In unserem Beispiel ist X1 der Abstand zwischen
Braunschweig und Flensburg (310 km), DX der Abstand
zwischen Braunschweig und dem Autofahrer um 0 Uhr (145
km), V die Geschwindigkeit des Autofahrers (100 km/h). T1
ist die verstrichene Zeit.
Man kann sich die Sache noch etwas komplizierter vorstel-
len. Man kann annehmen, daá die Uhr des Autofahrers um
eine Stunde verstellt ist. Als die Atomuhr in der PTB in
Braunschweig gerade die Geisterstunde l“utete, zeigt
seine Uhr gerade 23:00. Angenommen, die beiden Uhren
liefen ansonsten gleich schnell. Das heiát, wenn die
Atomuhr 1:00 zeigt, steht auf die Uhr des Autofahrers
0:00. Auch das ist kein Problem, denn man kann auch hier
eine einfache Subtraktion als Umrechnung benutzen. Ich
schreibe sie hier nur noch einmal in Formel auf:
T2 = T1 - DT.
Bei der Lorentz-Transformation ist es anders. Sie hat die
Form:
T1 - X1 * V / c^2
T2 = -------------------------
( 1 - (V / c)^2 ) ^ 1/2
X1 - T1 * V
X2 = -------------------------
( 1 - (V / c)^2 ) ^ 1/2
Hier hat man angenommen, dass DX=0 und DT=0 seien. Also
am Anfang steht das Auto nicht etwa in Hamburg, sondern
auch in Braunschweig. Und die Uhr des Autofahrers ist mit
der Atomuhr verglichen und wird richtig gestellt.
Diese komplizierte Transformation kommt allein von der
Anforderung, daá die Lichtgeschwindigkeit konstant sein
muá. Sie hat nur unter dieser Bedingung Sinn. Genau wie
die uns vertraute Galilei-Transformation nur dann
sinnvoll ist, wenn sich das Licht genau so verh“lt, wie
alles andere, was uns vertraut ist.
Hier m”chte ich auch schon auf den Anwendungsbereich der
Relativit“t eingehen. Angenommen, die Geschwindigkeit des
Autofahrers V ist sehr klein gegenber der Lichtgeschwin-
digkeit (V=100 km/h =27 m/s ist wirklich j“mmerlich klein
gegenber c=300 000 000 m/s), dann ist V/c fast Null. Der
Nenner in der Transformationsformel wird dann zu 1. Das
gleiche gilt fr den Term V/c^2. Die Lorentz-Transforma-
tion wird dann mit der Galilei-Transformation fast iden-
tisch. Man braucht also nicht die relativistischen
Effekte zu bercksichtigen, wenn man mit dem Auto f“hrt.
Selbst wenn man mit der Concord fliegt, ist der Effekt
der Relativit“t vernachl“ssigbar.
Die Astronauten in einer Raumkapsel fliegen etwa mit
einer Geschwindigkeit von 10 km/s. Der Nenner in der
Lorentztransformation (die Physiker nennen ihn Gamma, wir
nennen ihn G ) wird fr V=10 km/s etwa 0.9999999994
ergeben. Man kann sagen, daá das schon 1 ist. Selbst in
der Raumfahrerei (das, was wir heute darunter verstehen)
werden die relativistischen Effekte also auch kaum
bercksichtigt.
Bei V=c/10 (das ist schon eine unvorstellbare Gr”sse) er-
gibt G = 0.995, auch fast vernachl“ssigbar. Bei V=c/4
ist immer noch G = 0.968. Erst wenn man sich mit halber
Lichtgeschwindigkeit bewegt, ist der Relativit“tseffekt
nicht mehr zu bersehen: G = 0.866. Und danach wird G
drastisch kleiner, und damit 1/G immer gr”sser. Bei V=c
wird G=0 und 1/G = UNENDLICH!
Bei der Geschwindigket unterhalb von c/10 ist es noch
nicht n”tig, die relativistischen Effekte zu berck-
sichtigen. Sie machen die Sache nur unn”tig kompliziert.
Die eigentliche Effekte gehen bei solch berkomplizierten
Darstellungen unter, und die Messger“te sind meistens
sowieso nicht in der Lage, so kleine Žnderungen zu
registrieren.
Nun. So weit ber Lorentz. Es ist schade, daá Lorentz
seine Arbeit nicht weiter gefhrt hat. Er war sozusagen
schon mit einem Fuá in der Tr der Relativit“t. Aber
wahrscheinlich hatte ihn seine Vorsicht, die konservative
Einstellung, daran gehindert, den entscheidenden Schritt
zu gehen. Und den machte dann ein (damals) unbekannter
junger Mann. šber Einstein wird schon genug geschrieben,
ich werde ihn diesmal schonen. Im n“chsten Teil werde ich
dann aufzeigen, wie man die Lorentz-Transformation
benutzt, um die ganzen Effekte der Relativit“t
aufzudecken.
3. Die spezielle Relativit“t
Zuerst wollen wir noch einmal die Lorentz-Transformation
aufschreiben. Auf sie werden wir in diesem Teil immer
wieder zurckgreifen.
T1 - (v / c^2) X1
T2 = -----------------------
G
X1 - V * T1
X2 = -----------------------
G
mit
/----------------
G = \/ 1 - (v / c)^2 .
Wir erinnern uns daran, daá bei kleinen V, also fr
V<c/10, der relativistische Effekt vernachl“áigbar ist;
fr groáe V, also fr V->c, wird dieser Effekt sehr groá;
bei V=c wird G=0. Fr V>c wird G dann einen imagin“ren
Wert haben, weil die Wurzel aus einem negativen Wert
imagin“r ist. Das ist eine sehr merkwrdige Sache, denn
damit werden auch die Ortskoordinaten X2 und die Zeit T2
imagin“r, und ein imagin“rer Ort oder eine imagin“re Zeit
sind fr normal Sterbliche (wahrscheinlich auch fr den
Unsterblichen) nicht so leicht vorstellbar. Wir lassen
die Sachen an diesem Punkt ruhen und werden das Thema
nochmal aufgreifen.
Wenn der Physiker nicht mehr weiát, wie er die Relativi-
t“t erkl“ren soll, kommen immer Alice und Bob zur Hilfe.
Alice und Bob sind zwei Astronauten der 10. Generation.
Sie steuern Raumschiffe, die gelegentlich auch ber
Lichtgeschwindigkeit fliegen k”nnen (was aber nachher im-
mer wieder bestritten wird) und reisen ab und zu auch ins
Schwarze Loch. Wir halten uns gelegentlich in ihren Raum-
schiffen auf, um ihnen ber die Schulter zu sehen.
Wir bleiben bei Alice, w“hrend Bob mit einem Raumschiff
mit der Geschwindigkeit V durchs All fliegt. Bevor Bob
gestart ist, haben wir noch zusammen die L“nge zwischen
der Spitze seines schiffes und ihm gemessen. Das Ergebnis
ist L.
Nachdem Bob gestartet ist, hat er noch einmal die L“nge
gemessen, sie ist immer noch L. Das ist auch kein Wunder,
denn schlieálich fliegt Bob genau so schnell wie das
Schiff, oder andersum gesagt, das Schiff ruht fr ihn.
Was kann da passieren?
Bei der Galilei-Transformation wrde Alice, und somit
auch wir, bei einer Messung feststellen, daá die L“nge
des Raumschiffes ebenfalls L betr“gt, auch wenn das
Schiff jetzt in Bewegung ist. Ich wrde Euch nur
ermuntern, das mal selbst zu berprfen.
Bei der Lorentz-Transformation ist das anders. Alice will
jetzt messen, wie lang die Strecke zwischen Bob und der
Spitze seines Schiffes ist. Der Abstand zwischen Bob und
Alice ist V*T, wobei T die Flugzeit von Bob ist. Der
Abstand zwischen Alice und der Spitze von Bobs Schiff
ist laut der Lorentz-Transformation
L * G + V * T.
Ich habe hier nur die Lorenz-Transformation X2=(X1-V*T)/G
nach X1 umgestellt, wobei X2 die Koordinate der Schiff-
spitze fr Bob (L) ist. Der Abstand zwische Bob und der
Spitze seines Schiffs (gemessen von Alice) ist demnach:
L'=L * G
Wie frher mal gezeigt worden ist, ist G abh“ngig von der
Geschwindigkeit V. Je grӇer V ist, desto kleiner wird G.
Das heiát, je schneller Bob fliegt, desto krzer scheint
fr Alice der Abstand zwischen der Spitze seines Schiffs
und ihm. Wenn wir genau darber nachdenken, muá fr Alice
die L“nge von Bobs Nase auch krzer sein. Mit anderen
Worten ausgedrckt, Bob - und mit ihm sein Schiff - wird
platter.
Auch hier sehen wir, daá bei einer sehr kleinen
Geschwindigkeit (V < c/10) die Žnderung quasi nicht mess-
bar ist. Wenn Bob mit einem normalen Satelliten fliegt
(also Geschwindigkeit v=10km/s), w“re fr uns auf der
Erde eine 1m lange Stange um gerade 0.6 Nanometer
geschrumpft, und das ist nicht einmal mit dem Raster-
elektronenmikroskop feststellbar. Das Gegenteil gilt fr
eine sehr hohe Geschwindigkeit. Bei Lichtgeschwindigkeit
wird G=0, Bob und sein Schiff werden unendlich platt
sein. (Es ist komisch, wenn man bedenkt, daá fr Bob
alles in seinem Schiff noch in Ordnung ist, w“hrend das
Schiff durch einem unendlich platten Raum fliegt.)
"Aber was ist mit der Zeit?" - wird wahrscheinlich schon
einer von Euch fragen. Angenommen, an der Spitze des
Schiffs ist ein Blinklicht (wie beim Flugzeug), das alle
T Sekunden (fr Bob, der mit seinem Raumschiff fliegt)
einmal fr eine bestimmte Zeit lang aufblitzt. Was wrde
Alice sehen? Wie lange dauert das Aufblitzen?
(Hier werde ich zun“chst den Doppler-Effekt vernachl“ssi-
gen. Darauf komme ich noch zu sprechen. Angenommen, Bob
fliegt im Kreis um Alice herum. Der Abstand zwischen ihm
und Alice bleibt damit unver“ndert.
Dazu brauchen wir wieder nur einmal die Transformations-
gleichung umzustellen:
T' = T * G.
Das ist die Umstellung von T2=(T1-X1*V/C^2)/G, wobei X1
zu Null gesetzt wird.
Also genau wie bei der L“nge. Das Aufblitzen des Lichtes
wird bei zunehmender Geschwindigkeit des Schiffes immer
krzer. Also, je schneller Bob, das Schiff und das Licht
sich relativ zu Alice bewegen, desto schneller blinkt fr
Alice das Licht. Man h“tte damit das (falsche) Ergebnis
bekommen: Mit zunehmender Geschwindigkeit wird die Zeit
immer schneller verlaufen.
Wie ich gesagt habe, ist das falsch. Ich berlasse es
erst Euch, herauszufinden, wo der Haken ist (wahrschein-
lich wiát Ihr alle aus anderen Quellen, daá das richtige
Ergebnis genau umgekehrt lautet). Im n“chsten Teil werde
ich eine richtige Erkl“rung abgeben, und Ihr werdet dann
sehen, ob Ihr richtig gedacht habt. Ok?
4. Von Alice, Bob, dem Blinker, und das Licht, das der
Blinker absendet.
Na, habt den Fehler gefunden? Aber klar!
Der Haken liegt in dem Wort "Relativit“t", denn alle
Bewegungen sind relativistisch. Wir haben den Zeitabstand
zwischen zweimal Aufblitzen gemessen, die von dem Blinker
ausgesandt wurden, der sich an der Spitze von Bobs
Raumschiff befindet. Also fr den Blinker haben die zwei
aufeinanderfolgenden Blitze den Zeitabstand T2, genau wie
Bob es gemessen hat, denn diesmal ist Bob derjenige, der
ruht, und zwar relativ zu dem Blinker, w“hrend Alice
diejenige ist, die sich bewegt.
Wir haben gesehen, daá mit zunehmender Geschwindigkeit
(zwischen Alice und Blinker) der Zeitabstand, den Alice
gemessen hat, krzer wird. Das heiát aber, daá auf der
Uhr von Alice nur eine Sekunde vergeht, wenn der Blinker
alle 3 Sekunden einmal aufblitzt, also geht ihre Uhr
langsamer als die des Blinkers (oder die von Bob), allein
wegen der relativen Bewegung zwischen Alice und dem
Blinker.
Wenn Alice sich mit der Lichtgeschwindigkeit relativ zu
dem Blinker und Bob bewegen wrde, dann wrde Bob das Ge-
fhl haben, als w“re die Zeit fr Alice stillgestanden.
Der Witz dabei ist, daá das umgekehrt auch fr Alice
gilt, Alice h“tte das Gefhl, als stnde die Zeit von Bob
still.
Das kann aber nicht sein, denn stellen wir uns doch
einmal folgenden Fall vor: Bob fliegt mit einem
Raumschiff von der Erde weg, w“hrend Alice auf der Erde
bleibt. Alice wrde dann das Gefhl haben, als ginge die
Uhr von Bob langsamer, und Bob h“tte das gleiche Gefhl.
Nun kommt Bob an einem Stern an und macht dort einen
Zwischenhalt. Alice wrde dann merken, daá die Zeit fr
Bob langsamer gelaufen ist, er also etwas jnger ist als
er es sein soll. Aber das gleiche Gefhl muá doch auch
Bob haben, denn Alice bewegt sich ja relativ zu ihm auch
mit der gleichen Geschwindigkeit und die bewirkt ja auch,
daá fr Bob die Zeit bei Alice langsamer l“uft, er wrde
also das Gefhl haben, als w“re Alice etwas jnger als
sie es sein sollte.
WIE IST DAS ABER ZU ERKLŽREN?
Die Antwort liegt darin, daá wir in diesem Fall die spe-
zielle Relativit“t verlassen haben und die Formeln und
Ergebnisse, die wir bisher hergeleitet haben, ihre
Gltigkeit verloren. Im Fall des Beispiels muá Bob, damit
er zu dem anderen Stern fliegen kann, zuerst
beschleunigen (wie kriegt man denn einen Wagen vom Stehen
bis zum Tempo 50?). Wenn er an dem Stern angekommen ist,
muá er bremsen. In diesen Beschleunigungsphasen mssen
wir die allgemeine Relativit“t anwenden.
Das Beispiel zeigt sehr deutlich, wo die Grenzen der
speziellen Relativit“t liegen.
Bevor ich mich weiter mit unserem vorherigen Beispiel
besch“ftige und mich allm“hlich der relativistischen
Mechanik zuwende, m”chte ich hier ein kurzes Intermezzo
machen. Und zwar deswegen, weil wir jetzt gengend
Kenntnisse ber die Relativit“tstheorie gesammelt haben,
um uns vor Augen zu fhren, warum šberlichtgeschwindig-
keit nicht m”glich ist.
Angenommen, es g“be eine M”glichkeit, ein Signal mit
šberlichtgeschwindigkeit zu bermitteln. Wir nehmen an,
daá Bob wieder einmal auf dem Flug ist.
Er hat den geheimen Auftrag, ein Ger“t auszutesten, das
ein Signal senden kann, das sich mit šberlicht-
geschwindigkeit (von jetzt an mit šLG abgekrzt) durch
den Raum ausbreitet. Das Ger“t wird an der Spitze seines
Raumschiffs angebracht. Sein Raumschiff selber fliegt mit
einer Geschwindigkeit V unter der Lichtgeschwindigkeit.
Auf der Erde in der Zentrale sitzt wieder Alice.
Das geheime Ger“t, das zigtausend an Milliarden Dollars
gekostet hat, besteht aus einer Einrichtung, die fr das
šLG-Signal verantwortlich ist und einem normalen Blinker.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt (die Physiker verwenden
hierfr oft den Begriff "Stunde Null") sendet das Ger“t
ein šLG-Signal, gleichzeitig leuchtet auch der Blinker
auf. Angenommen, das šLG-Signal bewegt sich mit der Ge-
schwindigkeit U; die L“nge zwischen Bob und der Spitze
seines Schiffes ist L; Bob hat ein Empfangsger“t fr das
šLG-Signal.
Nach der Zeit T=L/U empf“ngt Bob das šLG-Signal von der
Spitze seines Schiffes. Gleichzeitig macht er ein Licht
bei sich an. Nochmal zur Wiederholung: Zuerst leuchtet
ein Licht an der Spitze von Bobs Schiff auf, dann, nach
einer Zeit T, macht Bob sein Licht an. Das alles aus der
Sicht von Bob. Was wrde Alice sehen?
Alice bewegt sich relativ zu Bob mit der Geschwindigkeit
V. Sie wrde natrlich einen anderen Zeitabstand messen
als Bob. Das Intervall T wrde fr sie
T - (V / c^2) L 1 - (V / C^2) (L / T)
T' = ------------------------ = T2 -------------------------
G G
1 - (V / c^2) * U
= T ------------------------ .
G
Das ist im wesentlichen das gleiche, was wir auch in
unserem letzten Beispiel (mit dem Blinklicht) gemacht
haben: Wir haben die Lorentz-Transformation umgestellt.
Offensichtlich wird T'<0, wenn 1-(V/c^2)*U<0 ist, also
wenn V>c^2/U w“re. (Da U>c, muá V<c sein.)
Was bedeutet es, wenn T'<0 wird? Das bedeutet, daá Alice
zuerst das Licht von Bob sehen wird und dann, nach T',
wird sie das Licht von der Spitze von Bobs Schiff sehen.
Zu beachten ist dabei, daá Bob nicht einmal mit šLG
fliegen muá. Seine Geschwindigkeit V ist kleiner als c.
Also, Alice sieht zuerst das, was nachher passiert, und
sp“ter, was vorher passiert. In der Physik heiát das die
Verletzung der Kausalit“t, daá heiát, man erf“hrt zuerst
das Ergebnis und dann die Ursache.
Wie wir aus unserem allt“glichen Leben wissen, ist das
nicht m”glich. Die Verletzung der Kausalit“t ist eine der
schlimmsten Fehler, die ein Physiker machen darf. Falls
er das macht, wird er sofort exkommuniziert. Ich lasse
die Diskussion hier stehen und werde in meinem letzten
Beitrag "Ketzerei" noch einmal darauf zurckkommen. Aber
bis dahin - sozusagen, bevor die Hexen ihren Tanz
auffhren und die Welt auf den Kopf stellen - werden wir
noch eine kleine Rundreise durch die geordnete Welt
machen.
Bislang habe ich mehr oder weniger mit Mathematik
gearbeitet. Aber jetzt stehe ich vor dem Problem, daá die
Schulmathematik mir nicht mehr helfen kann. Ich werde
einigermaáen gezwungen sein, manche Herleitungsschritte
zu berspringen und nur das Ergebnis zu pr“sentieren.
Wir kommen zurck zu Alice, Bob und dem Blinklicht an der
Spitze von Bobs Schiff. Wieder fliegt Bob mit einer
groáen Geschwindigkeit davon (allerdings ohne das Geheim-
ger“t, nachdem sich das ganze Projekt als eine groáe
Pleite erwiesen hat). Sein Blinklicht an der Spitze
seines Raumschiffes leuchtet in konstantem Zeitabstand
auf, wie es sich fr ein ordentliches Raumschiff geh”rt
(nur R“uberschiffe versuchen, sich zu verdunkeln und zu
verstecken).
Angenommen, Alice bleibt auf der Erde. Das erste Mal, als
das Blinklicht aufleuchtet, befindet sich Bob noch auf
der Erdumlaufbahn; beim zweiten Mal ist er schon beim
Mars. Das Licht, das bei dem ersten Aufleuchten
ausgesendet wurde, braucht einen viel krzeren Weg
zurckzulegen als das Licht vom zweiten Aufleuchten.
Folglich muá es einige Zeit dauern, bis das zweite Licht
auf der Erde ankommt. Alice wrde in diesem Fall das
Gefhl haben, daá das Blinklicht viel langsamer
aufleuchtet, als es normalerweise der Fall ist.
Ungekehrt, wenn Bob auf die Erde zufliegt, wird Alice das
Gefhl haben, daá das Blinklicht viel schneller
aufleuchtet als normal.
Genau, das kennen wir auch vom Schall. Der Effekt heiát
Doppler-Effekt, natrlich weil Herr Doppler (er stammt
brigens aus ™sterreich) es zuerst entdeckt und richtig
erkl“rt hat. Die Radarfalle funktioniert nach diesem
Prinzip. Man ist heute sogar in der Lage, die
Selbstdrehgeschwindigkeit der fernen Sterne oder Galaxien
mit dem Doppler-Effekt zu messen, was eine unglaubliche
Pr“zision erfordert.
Anfang unseres Jahrhunderts hat man auch begonnen, die
Geschwindigkeit der Sterne und der Galaxien zu messen.
Man ist auf das Ergebnis gekommen, daá das Universum
expandiert. Anscheinend bewegen sich die fernen Galaxien
von uns weg, je weiter sie sind, desto schneller. Zu
welchem Ergebnis solche exzentrischen Bewegungen fhren,
sehen wir auch auf der Erde, in Gegenden wie der GUS oder
Jugoslawien: zu einem grossen Knall.
Eine andere Auswirkung des Doppler-Effekts hat mit der
Energie zu tun. Wir haben gesehen, daá die Bewegung von
Bobs Schiff die Frequenz des Aufleuchtens seines Blink-
lichtes ver“ndert (natrlich von aus Alice gesehen).
Nach dem gleichen Prinzip “ndert sich auch die Frequenz
des Lichtes selber. Wenn sich die Lichtquelle aufjemanden
zu bewegt, wird das Licht "blauer" (genauer gesagt, die
Frequenz des Lichts nimmt zu); umgekehrt, wenn sich die
Lichtquelle von jemandem weg bewegt, wird das Licht
"roter". Licht mit hoher Frequenz ist auch energie-
intensiver. So hat zum Beispiel das UV-Licht eine viel
gr”áeres Zerst”rungspotential als das sichtbare Licht.
Das heiát also, wenn sich die Lichtquelle auf jemanden zu
bewegt, wird ihre Energie zunehmen.
An sich ist das nichts ungew”hnliches, denn auch in der
Galilei-Transformation gibt es den Doppler-Effekt. Dort
erkl“rt man die Sache so: Wenn sich eine Lichtquelle
n“hert, dann bekommt das Licht eine zus“tzliche
Geschwindigkeit (ein Mensch, der sich auf einem Zug
bewegt, hat die Geschwindigkeit Zuggeschwindigkeit +
eigene Schrittgeschwindigkeit), damit wird natrlich
seine kinetische Energie gr”áer. In der Relativit“t ist
das aber nicht der Fall, denn das Licht bewegt sich ja
immer noch mit der gleichen Geschwindigkeit, egal ob die
Lichtquelle sich bewegt oder nicht!
Wo kommt diese Energie her??
5. Von der Mechanik
Natrlich kann die Energie nicht vom Himmel fallen. Sie
stammt von dem Rckstoá, den das Licht der Lichtquelle
versetzt hat. Wir kennen alle solche RckstӇe, zum Bei-
spiel von Kanonenschssen. Wir wissen auch, daá, je
schwerer ein K”rper ist, umso gr”áer der Rckstoá von ihm
ist. Das Problem beim Licht ist aber, daá das Licht keine
Masse hat! Es hat nur Energie. Wie kann es dann den Rck-
stoá bewirkt haben?
Der Ausweg aus dem Dilemma ist, daá man die Energie mit
der Masse gleichsetzt. Es ist die Energie, die der Masse
gleicht, die den Rckstoá bewirkt hat. Und genau dieses
Masse-Energie-Gleichnis drckt die berhmte Formel von
Einstein aus: E=mc^2.
Von diesem Punkt an beschreitet Einstein seinen eigenen
Weg, von diesem Punkt an hat er die Reichweite Lorentz'
berschritten. In seiner ursprnglichen Arbeit hat er
mehrere Beweise fr diese Beziehung dargeboten. Das Bei-
spiel mit dem Rckstoá ist nur eins davon.
Ein anderer, sehr witziger Beweis, der allerdings nicht
von Einstein selber stammt, sieht so aus: Man hat eine
Federwaage, darunter h“ngt man eine Masse. Damit wird die
Feder gedehnt (Bild). Angenommen, die Feder wird durch
ein Gelenk mit der Masse verbunden.
< Nun ist das Gelenk so geformt, daá
< man die Masse rotieren lassen kann.
< Dann wird man beobachten k”nnen, daá
< die Feder etwas mehr gedehnt wird,
I so als wrde die Masse etwas schwerer
------- werden. (Anzumerken ist, daá die Aus-
I M I dehnung der Feder wirklich sehr klein
------- ist, so daá man sie nur mit sehr pr“-
zisen Ger“ten bemerken kann.) Woher
kommt dieses zus“tzliche Gewicht? Die Antwort lautet:
Jeder rotierende K”rper hat eine Rotationsenergie und
genau diese Energie wird in diesem Fall in Masse umge-
setzt und von der Feder gemessen.
Auch hier ist die Umrechnung zwischen Masse und Energie
E=mc^2. Da c^2 einen unheimlich groáen Wert besitzt, muá
die Rotationsenergie auch dementsprechend groá sein,
damit eine bemerkbare Ausdehnung der Feder erzeugt werden
kann.
Wir kommen aber zurck zum Rckstoá. Wie wir gesehen
haben: je grӇer die Geschwindigkeit der Lichtquelle,
desto gr”áer wird die Žnderung ihrer Lichtfrequenz.
Offensichtlich “ndert sich die Rckstoáenergie des Lichts
mit der Geschwindigkeit, mit der sich die Lichtquelle
bewegt. Je grӇer die Geschwindigkeit, desto grӇer wird
die Energie“nderung, desto "schwerer" wird das Licht.
Wenn die Lichtquelle sich mit Lichtgeschwindigkeit
bewegt, wird ihr Licht unendlich "schwer" sein.
Wie ist das aber m”glich? Wie kann etwas eine unendlich
groáe Energie aussenden, wenn es nicht selber eine unend-
lich groáe Energie besitzt?
In der Tat, die Energie der Lichtquelle wird mit ihrer
Geschwindigkeit immer gr”áer, bis sie schlieálich bei der
Lichtgeschwindigkeit eine unendlichgroáe Energie besitzt.
Ein anderer Grund, warum die Lichtgeschwindigkeit von
unsereiner nicht erreicht und nicht berschritten werden
kann, da die gesamte Energie des Universums sehr wahr-
scheinlich eine endliche Menge hat. Mit einer Formel aus-
gedrckt, sieht die Sache so aus:
M0 * c^2
E = -----------
G
Wie wir wissen, wird G zu NULL, wenn die Geschwindigkeit
v die Lichtgeschwindigkeit c erreicht hat. M0 ist die
Masse der Lichtquelle in der Ruhelage (Bislang spreche
ich immer noch von Lichtquelle, es ist ersichtlich, daá
das auch fr alle anderen Objekte gilt).
So weit, so gut. Aber Halt. Haben wir nicht gesagt, daá
zwischen Energie und Masse eine Beziehung besteht? Natr-
lich. Wir k”nnen die Zunahme von Energie auch als eine
Zunahme von Masse deuten:
M0
M = E / c^2 = ---------
G
Je schneller ein Objekt sich bewegt, desto schwerer wird
es also. (Weshalb man sich m”glichst nicht bewegen soll,
wenn man morgens auf der Waage steht. ;-)
Wieder einmal k”nnen wir berprfen, wann die relativis-
tische Effekte sich bemerkbar machen -- nur dann, wenn
die Geschwindigkeit gengend groá ist, da sonst G fast 1
gleicht, und somit M = M0 wird.
Das Leben in einem relativistischen Raum kann sch”n un-
angenehm sein, auf jeden Fall habe ich immer so ein un-
wohles Gefhl, wenn ich mir so vorstelle, daá die L“nge,
die Zeit, die ich messe, von meiner und meines Meá-
objektes Bewegung abh“ngen. Wenn ich zum Beispiel bei
meinem Node poolen m”chte, muá ich zuerst mal nach-
rechnen, welche Zeit er gerade hat, damit ich nicht in
einer Netzwechselzeit bei ihm anrufe. Das ist doch sch”n
umst“ndlich. Offensichtlich haben die Physiker auch das
gleiche Gefhl. Die Physiker, die sich mit der
Relativit“t besch“ftigen, horchen sofort auf, wenn sie
von einer "lorentz-invarianten" Gr”áe h”ren. Damit ist
eine Meágr”áe gemeint, die fr alle Bewegungssysteme
gleichbleibt. So eine GrӇe ist zum Beispiel die so-
genannte Eigenzeit.
Im Grunde genommen ganz einfach, auch wenn sich der Name
ziemlich kurios anh”rt. Die Eigenzeit ist die Zeit, die
sozusagen jeder fr sich misst. Fr mich w“re die Eigen-
zeit die Zeit, die meine Uhr anzeigt. Fr meinen Node
w“re die Eigenzeit die Zeit, die seine Uhr anzeigt, egal
ob er sich relativ zu mir bewegt oder nicht. Es ist genau
so, als wrden wir nach New York fliegen, dann rechnen
wir auch die Zeit in die New York-Zeit um. Wenn ich
erfahren m”chte, welche Zeit mein Node gerade hat, dann
rechne ich meine Zeit in seine Eigenzeit um. Wenn wir
beide wissen m”chten, welche Zeit sagen wir mal unser Mod
hat, dann rechnen wir beide unsere Eigenzeit in die des
Mods um. Damit erh“lt man eine einheitliche Zeitmessung.
Die Einfhrung der Eigenzeit hat auáerdem noch eine sehr
wichtige Bedeutung. Damit wird es erst m”glich, eine
relativistische Mechanik aufzubauen. Mechanik ist der
Physikzweig, der sich mit Kr“ften, Bewegungen und,
Beschleunigungen besch“ftigt. Aber wie wollen wir
Bewegung oder Beschleunigung definieren, wenn wir uns
nicht einmal ber die Zeitmessung einigen k”nnen?
Zum Beispiel: Wie messen wir die Geschwindigkeit. Wir
messen die Geschwindigkeit, indem wir die Zeit messen, in
der ein Objekt eine bestimmte Strecke zurcklegt. Aber
was machen wir, wenn wir immer zwischen unterschiedlichen
Zeiten umrechnen mssen? Wie k”nnen uns wir dann ber die
Geschwindigkeit einigen? Da einigt man sich, daá man eine
einheitliche Zeit benutzt, die Eigenzeit. Die Zeit, die
das zu messende Objekt selbst hat.
Das gleiche gilt auch fr die Beschleunigung, die Kraft,
der Impuls, usw.
Auch in der relativistischen Mechanik und Dynamik gilt
die Energie- und Impulserhaltung. Diese Gesetze sind in
der Teilchenphysik sehr wichtig. So werden die Reaktionen
von Elementarteilchen in Teilchenbeschleunigern mit
diesen Gesetzen berechnet. Zum Beispiel bleibt sowohl der
Impuls als auch die Energie beim Zerfall eines Teilchens
erhalten (in der klassischen Mechanik bleibt nur der
Impuls erhalten).
Warum bleibt in der Relativit“t auch die Energie er-
halten? Weil man in der Relativit“t man die gesamt
Energie der Teilchen zusammenrechnet, sowohl die Energie,
die in der Masse der Teilchen steckt (E=mc^2), als auch
die Bewegungsenergie. In der klassischen Mechanik wird
die Energie, die in der Bindung der Teilchen steckt,
nicht bercksichtigt.
Noch tiefer werde ich nicht mehr in die Mechanik gehen,
da die Mechanik selber (egal ob relativistisch oder
nichtrelativistisch) schon ein sehr komplexes Gebilde
ist. Es gibt Menschen, die ihr Leben lang daran ackern
(sogar heute noch).
6. Von der Mathematik und der Elektrodynamik
Die Relativit“tstheorie behandelt vor allem den Raum. Die
Mathematik, die zur Beschreibung von R“umen entwickelt
wurde, ist die lineare Algebra. Von daher ist es auch
kein Wunder, daá die lineare Algebra eine bedeutende
Rolle in der Relativit“t spielt.
Als ich noch die Mathevorlesung h”rte, war die lineare
Algebra das langweiligste Fach berhaupt gewesen, denn,
die Sachen, die die lineare Algebra behandelt, sind wirk-
lich die grundlegensten, die trivialsten Sachen ber-
haupt. Es f“ngt mit 1 * 2 = 2, 2 * 2 = 4, 3 * 2 = 6, etc.
an. Aber die Schwierigkeiten nehmen zu, und pl”tzlich
werden aus die Zahlen 1, 2, 3, ... abstrakte Symbole,
Funktionen, die unendlich viele Dimensionen haben k”nnen.
Und die Abstraktheit steigt noch, irgendwann weiá man
berhaupt nicht mehr, was der Professor meint. Von daher
ist die lineare Algebra auch das hinterlistigste Fach
(ich schreibe das, um all jene zu warnen, die irgendwann
einmal an einer Uni technische oder physikalische F“cher
studieren wollen, daran kommt keiner vorbei ;-). Zu sp“t
erkennen viele (inkl. ich), wie wichtig die lineare
Algebra ist. Ich kenne keinen Zweig in der Physik oder in
der Elektrotechnik, wo die lineare Algebra nicht ge-
braucht wird. Und erst recht nicht in der Relativit“ts-
theorie.
Die wichtigsten GrӇe fr diese Theorie sind die
Vektoren. Man kann Vektoren als Zeigest”cke der
Mathematiker bezeichnen. Ein Vektor hat eine L“nge und
eine Richtung, damit kann ein Mathematiker auf jeden
beliebigen Punkt im Raum zeigen. In unserem Leben haben
die R“ume drei Dimensionen: L“nge, Breite und H”he; in
der Relativit“t kommt die Zeit als eine der L“nge
vergleichbare GrӇe hinzu, damit wird der Raum vier-
dimensional, Ein Mathematiker kann sogar mit einem Vektor
in die Zeit zeigen.
Daá man Raum und Zeit gleichsetzen kann, kann man schnell
beweisen. Wir kommen zurck zu unserem Fremden, der nach
einem gewissen Haus fragt. Gehen Sie 50m weiter, dann 10m
links, kann man ihm sagen. Man kann aber auch sagen:
Gehen Sie 50 Sekunden weiter dann links 10 Sekunden.
Das klingt komisch, wird aber wirklich benutzt.
Wahrscheinlich nicht, wenn man nach einem Haus fragt. Zum
Beispiel wird in vielen M“rchen erz“hlt: Er wanderte
drei Tage und drei N“chte lang. Wenn man den groáen
Abstand verdeutlichen will: Selbst das Sonnenlicht
braucht einige Stunden, bis es die Oberfl“che des Pluto
erreicht. Oder: Die Raumsonde hat 10 Jahre gebraucht, um
Jupiter zu erreichen. Manche V”lker im Pazifik benutzen
heute noch solche Angaben wie: Du muát bis Sonnen-
untergang segeln, dann wirst Du die Insel sehen.
Zwei Sachen bemerken wir hier: 1. zu jeder dieser Zeit-
angaben geh”rt eine Geschwindigkeit, damit es eine L“nge
wird. 2. Die Angabe dieser Geschwindigkeit ist in den
meisten F“llen ungenau, weshalb solche Angaben selten
genutzt werden.
Ein Mensch kann mit 1m/s gehen, aber auch schneller oder
langsamer. Wenn man ihm sagt: gehen Sie 50s weiter, dann
kann das 40m bedeuten, auch 60m.
Das gleiche Problem hat man in der Relativit“t nicht,
denn wir haben beim letzten mal schon gesehen, daá es
sogenannte Lorentz-Invariante gibt. Die sind fr alle
Systeme gleich. Die wichtigste Invariante (weil die
Relativit“t auf ihr aufgebaut ist) ist natrlich die
Lichtgeschwindigkeit c. Egal, wer sie miát, sie ist immer
300 000km/s. Deswegen wird die Zeit mit der Licht-
geschwindigkeit zusammen angegeben: Die L“nge, die der
Zeit T entspricht, ist cT.
Genau wie in 3D-R“umen, kann man hier auch einen
"Abstand" berechnen. Der Abstand im 3D-Raum ist: s =
Wurzel aus (x^2 + y^2 + z^2). Der "Abstand" in der
Relativit“t ist analog:
/------------------------------
s = \/ (c * T)^2 - x^2 - y^2 - z^2
Die Minuszeichen zeigen, daá die Zeit doch etwas anders
ist als die L“nge. Daá gerade x, y, z Minuszeichen tragen
und nicht c*T hat folgenden Grund:
Angenommen, ein Objekt bewegt sich mit der
Geschwindigkeit v in x-Richtung. Nach der Zeit T hat es
dann die Strecke vT zurckgelegt. Da v h”chstens gleich c
sein kann, ist x stets kleiner als cT, damit bleibt s
immer reel. Wir sehen auch, daá das Licht immer die
krzeste Strecke zurcklegt, denn bei Licht wird v=c, und
damit x=cT, und damit s=0. Relativistisch gesehen ist das
Licht das faulste Wesen im Universum, denn es bleibt
immer "stehen". Wir kommen bei der allgemeinen
Relativit“t noch einmal darauf zurck.
Das Zeichen s hat eine ganz praktische Bedeutung.
Angenommen, etwas hat die Koordinaten (cT, x, 0, 0) <so
schreiben die Mathematiker und Physiker Vektoren>.
Angenommen, x w“re gr”áer als cT. Was hat das fr eine
Bedeutung?
Das bedeutet, daá das Licht in der Zeit T die Strecke x
nicht zurcklegen kann. Somit k”nnen wir nichts ber
Dinge wissen, fr die cT<x gilt. Ein imagin“res s w“re
also fr uns etwas, das auáerhalb unserer Erkenntnis
liegt.
Ein Beispiel: Angenommen, in dem Augenblick, in dem Du
diese Zeile liest, explodiert unser Nachbarstern Alpha
Zentauri. Der Stern befindet sich 4.3 Lichtjahre (Lj)
entfernt. Damit h“tte das Ereignis, daá Zentauri Alpha
explodiert ist, in dem Augenblick, als der Stern tats“ch-
lich explodiert ist (T=0), fr uns ein imagin“res s: s =
Wurzel aus (-18.5 Quadratlichtjahre). Wir k”nnen aber
zu diesem Zeitpunkt nicht wissen, daá Zentauri Alpha tat-
s“chlich explodiert ist, weil das Licht, das dieses
Ereignis verkndet, erst nach 4.3 Jahren bei uns
eintreffen wrde. Erst dann, wenn T = 4.3 Jahre geworden
ist, k”nnen wir sehen und wissen, daá Zentauri Alpha
explodiert ist. Dann hat das Ereignis den s-Wert: s =
Wurzel aus [(4.3 Jahre * c)^2 - (4.3 Lichtjahre)^2] =0.
Die Physiker benutzen hier das Wort Horizont, denn erst
jetzt wird das Ereignis fr uns sichtbar, wie die Sonne,
die aufsteigt. Danach wird s einen positiven Wert haben,
dann reden wir von Vergangenheit, und die Explosion ist
Geschichte.
Interessant ist auch, daá s^2 eine Lorentz-Invariante
ist. Ich gebe hier nur einen Tip zur šberprfung: Man
vernachl“ssigt y und z, transformiert T und x mit der
Lorentz-Transformation in T2 und x2 (die Geschwindigkeit
der Transformation v ist nicht wichtig, kann als beliebig
angesehen werden), bildet (c*T2) - x2^2, und guckt, ob da
(c*T)^2 - x^2 rauskommt. Es ist eine sehr einfache
Rechnung, ich kann nur jeden ermuntern, es mal zu ver-
suchen.
Žhnlich wie die Beziehung zwischen Zeit und L“nge ist die
Beziehung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern.
Angenommen, es gibt eine Ladung (zum Beispiel ein
Elektron) im Raum. Die Ladung ist ruhig (relativ zu uns
als Beobachter). Wir k”nnen eine andere Ladung in den
Raum bringen (zum Beispiel ein anderes Elektron), dann
werden wir merken, daá sich die beiden Elektronen von
einander abstoáen.
Damit wissen wir also, daá es ein elektrisches Feld im
Raum gibt, das von der ersten Ladung gebildet wird. Wenn
wir eine Magnetnadel in diesen Raum bringen, zeigt sie in
eine beliebige Richtung, es gibt also kein magnetisches
Feld im Raum. Wenn wir aber der Ladung einen Stoá geben
und sie damit in Bewegung setzen, dann wird die ruhende
Ladung zu einem elektrischen Strom. Wir bringen wieder
die Magnetnadel in den Raum, und siehe da, jetzt richtet
sich die Nadel nach eine bestimmte Richtung, damit ist
erwiesen, daá ein magnetisches Feld jetzt im Raum
vorhanden ist.
In der nichtrelativistischen Elektrodynamik (so heiát die
Wissenschaft, die mit Elektrizit“t und Magnetismus und
ihren Wechselwirkungen zu tun hat) ist man sich nicht
ganz klar, wie das kommt. Man nimmt es als gegeben hin.
In der Relativit“t kann man mathematisch beweisen (der
Beweis ist sehr kompliziert), daá elektrische und
magnetische Felder zwei Seiten einer Medaille sind. Sie
sind beide Eigenschaften der elektrischen Ladung und
k”nnen sich in einander umwandeln.
In diesem Punkt zeigt sich auch ein krasser Unterschied
zwischen der Relativit“t und der Quantenmechnik. In
letzterer w“re zum Beispiel eine magnetische Ladung nicht
nur erwnscht, sie br“chte der Mathematik zu eine
vollkommene Symmetrie (und da die Wissenschaftler
allesamt einfallslose Menschen sind, sind fr sie
Symmetrie auch zugleich Sch”nheit ;-). Dagegen ist in der
Relativit“t kein Platz fr eine magnetische Ladung. Eine
magnetische Ladung kann nur Unruhe stiften, da sie die
Gleichheit und Umwandelbarkeit der Felder verletzt (und
damit die Symmetrie und die Sch”nheit).
Deswegen hat man auch solche Schwierigkeiten mit der
magnetischen Ladung. Die Kosmologen sagen, die
magnetische Ladung sei sehr, sehr selten im Weltraum und
h“tte ungeheuer groáe Energie. Der Hauptgrund dafr ist,
daá sie eigentlich nicht in die Relativit“t passt.
Naja, magnetische Ladung ja oder nein, auf jeden Fall
haben wir sie bislang, trotz der Anstrengungen, noch
nicht entdecken k”nnen. Ich bin zwar dazu nicht
qualifiziert, kann meine Vermutung aber nicht
unterdrcken, daá wir die magnetische Ladung
wahrscheinlich nie entdecken werden.
7. Die allgemeine Relativit“tstheorie
Lange habe ich berlegt, ob ich diesen Teil hier pr“sen-
tiere, da ich selber noch nicht ganz in diesem Gebiet
zuhause bin. Doch irgendwie wirkt die Sache
unvollst“ndig, wenn ich diesen Teil weglasse. Deswegen
also doch. Aber nichtsdestoweniger werde ich mich auf
Gebieten bewegen, wo ich noch halbwegs festen Boden unter
den Fáen habe. Es geht also nur um die Grundlagen.
Das Problem, das die spezielle Relativit“t vor sich hat,
ist die Gravitation. Oder genauer gesagt, die Masse. Die
Masse ist eine sehr kuriose GrӇe, denn sie verursacht
eine Kraft (die Gravitation) und auf der anderen Seite
behindert sie die Wirkung einer Kraft (die Tr“gheit). Das
ist zum Beispiel anders bei den elektrischen Ladungen.
Elektrischen Ladungen k”nnen sich auch anziehen, aber sie
haben keine Tr“gheit, sie wirken nur.
Es gibt also offensichtlich zwei Arten von Massen: die,
die Kraft ausben, und die, die Tr“gheit bilden. Das
Schlimme an dem Ganzen ist nur, daá diese beiden Massen
sogar identisch zu sein scheinen. Auf jeden Fall haben
bislang alle Experimente dies best“tigt.
Was ist das Schlimme daran?
Um das Problem zu verdeutlichen, rufen wir uns das
berhmte Experiment an dem schiefen Turm von Pisa in
Erinnerung. Galilei bewies dort, daá zwei fallende K”rper
gleich schnell beschleunigt werden, egal wie schwer, wie
geformt, aus welchem Material sie sind. Der Grund ist
einfach: Die Erde zieht einen K”rper mit einer Kraft an,
die proportional zu dessen Masse ist; die Tr“gheit dieses
K”rpers ist aber umgekehrt proportional zu dessen Masse.
Damit ist die Beschleunigung von der Masse unabh“ngig.
Das ist eben das Paradoxe an der Masse. Angenommen, wir
w“ren in einem freifallenden Fahrstuhl eingeschlossen,
dann wrden wir pl”tzlich keine Erdanziehung mehr spren,
obwohl wir eben wegen dieser Erdanziehung beschleunigt
werden, und falls wir nicht rechtzeitig bremsen, eine
ziemlich kleine šberlebenschance haben. Alles, was sich
mit uns in diesem Fahrstuhl befindet, ist fr uns
ebenfalls schwerelos geworden. Angenommen, wir wissen
nicht, was draussen ist, dann h“tten wir uns auch genau
so gut in einer in der Schwerelosigkeit schwebenden
Raumschiffkabine befinden k”nnen, wir h“tten keine
M”glichkeit gehabt, zu berprfen, ob wir von einer Masse
angezogen werden.
Die Raumstationen, die um die Erde kreisen, befinden sich
in einer Art immerw“hrendem freien Fall. Deswegen
herrscht dort auch eine wirkliche Schwerelosigkeit.
Physiker nutzen das Prinzip aus und untersuchen
Schwerelosigkeit in Falltrmen, wo die Proben sich fr
kurze Zeit in freiem Fall befinden. So ein Fallturm
befindet sich zum Beispiel in der PTB in Braunschweig.
Das alles liegt noch im Bereich der klassischen Mechanik.
Aber stellen wir uns vor, wir bef“nden uns in einem
"Fallstuhl" und somit in Schwerelosigkeit. Jetzt senden
wir einen Lichtstrahl aus, von einer Wand zur anderen.
Wie gesagt, es g“be keine M”glichkeit, zu berprfen, ob
wir tats“chlich im freien Fall sind, oder ob wir uns in
einem leeren Raum befinden, und damit in einer "tats“ch-
lichen" Schwerelosigkeit. Nach der spezielle Relativit“t
soll das Licht immer den krzesten Weg nehmen, also l“uft
es fr uns geradeaus. Angenommen, das Licht ist einen
Meter ber dem Boden senkrecht zum Wand ausgesendet
worden, dann muá es auch ein Meter ber dem Boden an der
gegenberliegenden Wand ankommen.
Aber was wrde der Mensch draussen sehen? Der Mensch, der
auf der Erde steht, und damit nicht mit uns f“llt. Er
sieht, das Licht wird ein Meter ber dem Fuáboden des
"Fallstuhls" ausgesendet, und kommt einen Meter ber dem
Fuáboden an. Aber in der Zeit, in der das Licht von einer
Wand zur anderen fliegt, hat der Fallstuhl sich ja nach
unten bewegt. Das muá doch heiáen, daá das Licht mit dem
Fallstuhl zusammen gefallen ist, als ob es ein Gewicht
h“tte! Das Licht i
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