Funktionen

Funktionsbegriff

Definition

Es seien X,Y nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f mit der Eigenschaft

heiße Abbildung (oder Funktion oder Zuordnung) von X in Y.

Das Element y = f(x) heiße Bild von x unter f, und x heiße ein Urbild von f(x).

Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion f, häufig mit D(f) bezeichnet. Die Menge Y heißt Zielmenge von f. Die Menge f(X) heiße Bildbereich oder Wertebereich von f, kurz Bild f.

Grundfunktionen

(a) Die ganzrationale Funktion:

Für a_n 0 ist f(x) = P_n(x) ein Polynom vom Grade n.

Sonderfälle:

konstante Funktion
f(x) := b.

lineare Funktion
f(x) := ax.

affine Funktion
f(x) := ax + b.

(b) Die gebrochen rationale Funktion

(c) Die n-te Wurzelfunktion

(d) Der Absolutbetrag

(e) Die Signumsfunktion

(f) Die Entire-Funktion

Maximaler Definitionsbereich

Der maximale Definitionsbereich D_max(f) R einer Funktion f ist diejenige Menge, die zu jedem ihrer Elemente x I D_max(f) einen formelmäßigen Ausdruck für f(x) zuläßt, während f(x) für x D_max(f) nicht definierbar ist.

Vektor- und matrixwertige Funktionen

(a) Vektorwertige Funktionen:

Es seien

Funktionen mit gemeinsamen DefinitionsbereichDann ist eine vektorwertige Funktion durch folgende Vorschrift erklärt:

(b) Matrixwertige Funktionen:

Es seien

Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich   Dann ist eine matrixwertige Funktion durch folgende Vorschrift erklärt:

Grundoperationen auf Funktionen

(a) Nullstellen:
Eine Zahl x₀ I D(f) heißt Nullstelle von f, wenn gilt: f(x₀) = 0.

(b) Summe:
(f + g)(x) := f(x) + g(x).

(c) Skalares Vielfaches:
lf)(x) := lf(x).

(d) Produkt:
(fg)(x) := f(x)g(x).

(e) Quotient:

(f) Betrag:
|f|(x) := |f(x)|.

Nur in R:

(g) Positiver Teil:

(h) Negativer Teil:

(i) Maximum:
(max)(x) := max.

(j) Minimum:
(min)(x) := min.

Es gelten folgende Zusammenhänge:

Grenzwerte

Anmerkung: Im Folgenden gilt nicht notwendigerweise, daß x₀ I D(f).

Eigentliche Grenzwerte

(a) Linksseitiger Grenzwert:

(b) Rechtsseitiger Grenzwert:

(c) Grenzwert:

(d) Sprünge:
Existieren im Punkt x₀ I R voneinander verschiedene rechts- und linksseitige Grenzwerte
, so hat die Funktion f bei x₀ einen Sprung der Höhe |g⁺ - g^-|.

(e) Singularitäten:
Ein Punkt x₀ I R heißt Unbestimmtheitsstelle oder singuläre Stelle oder Singularität von f, wenn wenigstens einer der Grenzwerte g⁺ oder g^- nicht existiert. Singularitäten treten bei rationalen Funktionen in den Nullstellen des Nennerpolynoms Q(x) auf, sofern diese nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählerpolynoms P(x) mindestens derselben Ordnung sind.

(f) Algebraische Operationen:
Seien Dann gelten die folgenden Regeln:
(I)  
(II)
(III)
(IV)

(g) Ordnungsrelationen:
(I)  
(II)
(III) Einschließungskriterium:

Uneigentliche Grenzwerte

Definition:

(a) Die Funktion f hat in + (bzw. in - ) den Grenzwert g, wenn gilt:

Schreibweise:

(b) Die Funktion f hat in x₀ I R den uneigentlichen Grenzwert + (bzw. - ), wenn gilt:

Schreibweise:

Rechenregeln:

Seien lim f(x) = + = lim h(x), lim g(x) = g