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Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen


Definition: Zuordnungen der Form


x q x (qI |R




heißen Exponentialfunktionen.


Eigenschaften von Exponentialfunktionen: für jede Exponentialfunktion gilt:


a: der Graph der Funktion

steigt für q > 1, die Funktion ist streng monoton steigend

sie fällt für 0 < q < 1, die Funktion ist streng monoton fallend

b: der Graph liegt oberhalb der x-

Achse, daraus folgt: die Menge

aller Funktionswerte ist R

c: der Graph approximiert

den negativen Teil der x-

Achse für q > 1

den positiven Teil der x-Achse

für 0 < q < 1



Praktische Anwendung der Exponentialfunktionen: - Kapitalanlagen

Pflanzenwuchs

Gleichmäßiges Wachstum

Zerfall von Stoffen


Beachte: Im Unterschied zu den Potenzfunktionen ist bei Exponentialfunktionen die

Hochzahl variabel.


Beispiel:

Die Funktion x          2x ; x I |R heißt Exponentialfunktion zur Basis 2.

Für diese Funktion gilt:


Der Graph steigt; die Funktion ist streng monoton wachsend.

Der Graph liegt oberhalb der 1. Achse. Die Funktion nimmt jede positive reelle Zahl als Funktionswert an.

Für x < 0 ist 0 < 2x < 1,

für x = 0 ist 2x

für x > 0 ist 2x > 1.

Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der 1. Achse an. Die 1. Achse ist

Asymptote des Graphen.

Jedesmal, wenn x um s wächst, wird der Funktionswert 2x mit 2s multipliziert.




y











-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

Stelle Funktionswert


x 2x

+ s                                                     * 2s

x+s 2x + s x s




bei unterschiedlicher Wahl der Basis wird der Graph der Funktion gestreckt oder gestaucht. Siehe oben !!!





Lineares Wachstum einer Größe y:


Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme der Größe y um den gleichen Betrag.

Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = mx + b


Exponentielles Wachstum einer Größe y:


Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung der Größe y mit dem gleichen Faktor b (Wachstumsfaktor).

Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = a * bx




Logarithmusfunktionen:



Gegeben seien zwei positive Zahlen y und q (wobei q = 1). Wir suchen diejenige

(Hoch-)Zahl x, mit der man q potenzieren muß, um y zu erhalten: y = bx


Diese Zahl x heißt der Logarithmus von y zur Basis q; Bezeichnung: x = logb y.



Logarithmengesetze:


(L1):   logb (u * v) = logb u + logb v (für u , v I |R

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.


(L2):   logb (ut) = t * logb u (für u , t I |R

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus der Hochzahl und dem

Logarithmus der Basiszahl.

(L1*): logb u v) = log b u - logb v (für u , v I |R

Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz des Logarithmus

des Zählers und des Logarithmus des Nenners.



Eigenschaften von Logarithmusfunktionen


Für jede Logarithmusfunktion x wird zugeordnet logb x; xI|R mit b > 1 gilt:


Der Graph steig; die Funktion ist streng monoton steigend

Die menge aller Funktionswerte ist |R. Es gilt


logb x < 0 für 0 < x < 1

logb x = 0             für x = 1

logb x > 0  für x > 1



Der Graph approximiert den negativen Teil der Y-Achse.

Die Graphen aller Logarithmusfunktionen haben den Punkt P (1;0) und nur diesen

Gemeinsam.



Graph der o.g. Logarithmusfunktion:














Die Lorarithmusfunktion ist eine Umkehrung der Exponentialfunktion. Gegeben seien zwei positive Zahlen y und b (b ungleich 1). Es wird die (Hoch-) Zahlx gesucht, mit der man b potenzieren muß um y zu erhalten.




Übungsaufgabe:


Eine Größe y wachse exponentiell. In der Zeiteinheit x = 1 wachse sie an mit dem Faktor

b.     Zum Zeitpunkt x = 0 habe sie den Wert a.


a)     Fülle die Tabelle aus.

b)    Zeige: Zum Zeitpunkt x hat die Größe y den Wert y = a * bx



Zeit Größe y


0 a

1 [ ]


2 [ ]


3 [ ]


.


.


.

x [ ]















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