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PORTFOLIO DER MATHEMATIK



PORTFOLIO DER

MATHEMATIK

 

PLANIMETRIE

Inhaltsverzeichnis

1.1                   Der Begriff "Planimetrie"

1.2                   Entstehung der Geometrie

1.3                   Die wichtigsten Begriffe der Geometrie kurz erklärt


1.4                   Berühmte Griechische Geometer

2.1                   Das Dreieck

2.2                   Dreiecks-Arten

2.3                   Allgemein

2.3.1                Winkelsumme im Dreieck

2.3.2                Der Umkreis beim Dreieck

2.3.3                Der Inkreis beim Dreieck

2.3.4                Die Seitenhalbierenden beim Dreieck

2.3.5                Die Höhen beim Dreieck - Thaleskreis

2.3.6                Das gleichseitige Dreieck

2.3.7                Berechnung der Höhen im gleichseitigen Dreieck

2.3.8                Berechnung der Flächen im gleichseitigen Dreieck

2.3.9                Dreieckssätze

2.3.10  Heronsche Flächenformel

3.1                   Das Viereck

3.2                   Vierecks-Arten

3.2.1                Das Quadrat

3.2.2                Das Rechteck

3.2.3                Das Parallelogramm

3.2.4                Die Raute

3.2.5                Das Trapez

3.2.6                Das Drachenviereck

4.1                   Das regelmäßige Sechseck

5.1                   Das regelmäßige n-Eck

6.1                   Der Kreis

6.2                   Berechnungen am Kreis

6.2.1                Kreisumfang

6.2.2                Flächeninhalt eines Kreises

6.2.3                Flächeninhalt eines Kreisrings

           

6.2.4                Flächeninhalt eines Kreissektors

6.2.5                Flächeninhalt eines Kreissegments

6.2.6                Länge eines Kreisbogens

6.3                   Berechnung von p mittels der Monte Carlo                                                Integration

1.1            Der Begriff Planimetrie

Planimetrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Geometrie ist griechisch und bedeutet Erdmessung. Die Planimetrie behandelt alle ebenen Flächen (Dreieck, Quadrat, Kreis) und deren Gesetzmäßigkeiten und Größenbeziehungen von Punkten, Linien und Flächen. Die Planimetrie wird schon seit Tausenden von Jahren von den Menschen erforscht und genutzt.

Auch heute wird die Planimetrie fast überall gebraucht und auch genutzt.

1.2            Entstehung der Geometrie

Der Ursprung der Geometrie ist bei den Agyptern zu finden. Diese glaubten, der Erfinder der Geometrie sei ihr Gott Thot.

Die Geometrie wurde bei den Agyptern für Berechnungen von Feldern, Tempelbauten und sogar für die Pyramiden genutzt. Die allerfrüheste Geometrie beschäftigte sich aber ausschließlich mit der Messung und Verteilung von Ländern. Ein gutes Beispiel hierzu:

Der Agyptische König Sesotris schenkte jedem seiner Bürger ein gleich großes Stück Land, in Form eines Vierecks. Da aber der Nil oft große Teile überschwemmte oder gar wegriss, schickte der König jedes mal Abgesandte, welche die Länder neu vermessen mussten.

Das ist zwar jetzt nur ein Beispiel von vielen und vielleicht stimmt es auch gar nicht, aber ich denke, dass sich die Geometrie aus solchen oder ähnlichen Situationen entwickelt haben muss. Fest steht aber, dass sich die Geometrie aus einem Bedarf heraus entwickelt hat.

Die Agypter waren in der Geometrie mehr praktisch als theoretisch veranlagt gewesen. Das ging soweit, dass sie von den Griechen sogar "Seilspanner" genant wurden. Die Griechen verachteten die Agypter aber keineswegs sondern bewunderten sie viel mehr.

So übernahmen auch viele Griechische Geometer ägyptische Konstruktionen. Die Agyptische Geometrie war aber noch keine Wissenschaft, sie war eher der Rohstoff für die Weiterentwicklung der Griechen. Den Agyptern fehlte es an Axiomen (=absolut richtigen Grundsätzen die keinen Beweis benötigen) und der Zusammenfassung vieler Spezialfälle unter einem allgemeinen Gesichtspunkt.

Die Beseitigung dieser Mängel ist ein wichtiger Verdienst griechischer Geometer.

Eines der wichtigsten Werke über Geometrie ist das Werk "Elemente" von Euklid (365-300 v. Chr.) dem sog. Vater der Geometrie. Es ist ein Werk, welches 15 Bücher über Geometrie beinhaltet. Die ersten Vier Bücher handeln von der Planimetrie. Die Geometrie bedarf zu aller erst einfacher Grundsätze, welche Axiome oder Elemente der Geometrie heißen.

Beispiele

            - ein Punkt ist was keine Teile hat

                                                                       - eine Linie ist eine breitenlose Länge

                                                                       - eine Fläche ist, was nur Breite und Länge hat

                                                                          und deswegen sind die Grenzen einer Fläche

                                                                          Linien

- jeder Punkt lässt sich mit jedem anderen Punkt, 

   durch eine Linie verbinden                                                                                                

1.3            Die wichtigsten Begriffe der Geometrie, kurz erklärt

Gerade

Geraden haben einen Anfangs- aber keinen Endpunkt, also auch keine Länge.
Man bezeichnet Geraden mit kleine Buchstaben, häufig g.

Winkel

Ein Winkel ist die Vereinigung zweier Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt. Den Anfangspunkt, den Scheitel bezeichnet man mit dem Buchstaben S. Bei einem Winkel nennen wir denjenigen Schenkel den ersten Schenkel, der bei einer Linksdrehung um den Scheitel den Winkel überstreicht; der andere Schenkel heißt zweiter Schenkel.

Strecke

Eine Strecke ist durch ihre zwei Endpunkte eindeutig bestimmt. So lassen sich gewisse geometrische Aufgaben rechnerisch lösen. Strecken werden mit den Großbuchstaben PQ und einem Strich, der für die Strecke steht, darüber.

Strahl

Ein Strahl hat keinen Anfangs- und Endpunkt. Demnach ist er unendlich lang.

1.4            Berühmte griechische Geometer

Einer der ersten griechischen Geometer war Thales von Milet (640-548v. Chr.).

Er beschäftigte sich mit vielen Naturwissenschaften unter anderem auch mit der Planimetrie.

Ein Entdeckung von ihm ist, dass jedes Dreieck in einem Halbkreis ein rechtwinkeliges ist (Satz von Thales). Eine andere Leistung des Thales ist die Bestimmung des Abstands eines ankommenden Schiffes zum Hafen.



Eine andere wichtige Person in der griechischen Geschichte ist Phythagoras.(580-500v. Chr.) Von ihm stammt der berühmte Beweis a2+b2=c2 .Der unterschied zu Thales ist der, das Phythagoras den Wissenszweig der Geometrie in eine wirkliche Wissenschaft umwandelte.

Phythagoras hat die Geometrie von der Praxis abgehoben und als rein theoretische Wissenschaft behandelte.

Ein weiterer Geometer ist der Lehrer Platons Timaios. Auf ihn geht die geometrische Proportion zurück, welche Thales und auch den Agyptern mit großer Wahrscheinlichkeit noch nicht bekannt war.

Die Planimetrie war nun schon weit entwickelt worden. Flächen wie z.B. Kreis, Dreieck und Quadrat waren genau erforscht worden und durch die Flächenvergleichung und der Proportionen waren auch Hilfsmittel für eine weiter metrische Untersuchung vorhanden.

Der Schüler Platon von Timaios wehrte sich seinerzeit gegen die aus der Praxis entlehnten Verfahren. Angeblich hatte er über seiner Tür geschrieben "Kein der Geometrie Unkundiger trete unter mein Dach!".

Die Geometrie wurde von diesem Zeitpunkt an von jedem als eine Wissenschaft behandelt.

2.1 Das Dreieck

2.2 Dreiecks-Arten

Die Unterscheidung von Dreiecken ist nach Winkelarten möglich

oder nach den Seitenverhältnissen

Diese beiden Kriterien lassen sich auch kombinieren

2.3 Allgemein

2.3.1 Winkelsumme im Dreieck

a + b + g = 180°

2.3.2 Der Umkreis beim Dreieck

Die Mittelloten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises

2.3.3 Der Inkreis beim Dreieck

Die Endpunkte D, E ,F der  Winkelhalbierenden sind nur im Ausnahmefall (gleichseitiges Dreieck) zugleich die Berührungspunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten.

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt O, dem Mittelpunkt des Inkreises

2.3.4 Die Seitenhalbierenden beim Dreieck

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks.

Sie teilen sich dabei gegenseitig im Verhältnis 2:1.

2.3.5 Die Höhen beim Dreieck - Thaleskreis

Der Thaleskreis wird dazu verwendet um die Höhenlinien besser konstruieren zu können und ist der Ortsbogen für rechte Winkel.

Die Höhenlinien schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt.

2.3.6 Das gleichseitige Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten und Winkel gleichgroß (a = 60°).

Es sind auch die

"besonderen Linien" identisch.

Höhenlinien

= Mittelsenkrechte

= Seitenhalbierende

= Winkelhalbierende

Umfangsformel

2.3.7 Berechnung der Höhen im gleichseitigen Dreieck

2.3.8 Berechnung der Fläche im gleichseitigen Dreieck

2.3.9 Dreieckssätze

Satz des PHYTHAGORAS

a² + b² = c²      a, b . Katheten c . Hypotenuse

(nur im rechtwinkeligen Dreieck)

Innenwinkelsatz

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.

Außenwinkelsatz

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Winkel.

Dreiecksungleichungen

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte Seite.

Satz von Morley

Wenn man die Dreieckswinkel drittelt entsteht im Inneren eines beliebigen Dreiecks ein gleichseitiges Dreieck.

Napoleon Dreieck

Wenn man auf die Seite irgend eines Dreiecks drei gleichseitige Dreiecke setzt und deren Zentren verbindet so entsteht immer ein gleichseitiges Dreieck.

Ahnlichkeitssätze

·Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, so sind sie 

einander ähnlich.

·Wenn zwei Dreiecke in einem Winkel übereinstimmen und wenn die anliegenden Seiten gleiche Verhältnisse bilden, so sind die Dreiecke einander ähnlich.

·Wenn jede Seite eines Dreiecks mit je einer Seite eines anderen Dreiecks gleiche Verhältnisse bildet, so sind die Dreiecke einander ähnlich.

·Wenn zwei Seiten eines Dreiecks mit je einer Seite eines anderen gleiche Verhältnisse bilden und wenn die beiden Dreiecke in dem Winkel übereinstimmen, der der jeweils größeren der beiden Seiten gegenüberliegt, so sind die Dreiecke einander ähnlich.

Mittelsenkrechte

In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt.

( im rechtwinkeligen Dreieck ist M Mittelpunkt der Hypotenuse;

im spitzwinkeligen Dreieck liegt M innerhalb des Dreiecks;




im stumpfwinkeigen Dreieck liegt M außerhalb des Dreiecks )

Höhen

In jedem Dreieck schneiden sich die Höhen in einem Punkt.

( im rechtwinkeligen Dreieck ist H der Scheitel des rechten Winkels;

im spitzwinkeligen Dreieck liegt  H innerhalb des Dreiecks;

im stumpfwinkeigen Dreieck liegt H außerhalb des Dreiecks )

Beweis für ein spitzwinkeliges Dreieck

 

Erforderliche Axiome

Phythagoreischer Lehrsatz

a2 + b2 = c2

Umfang:

a + b + c = 2s

 

Höhe ermitteln

p einsetzen

 

In die Flächenformel

 

einsetzen

 

Binomische Formeln

 


3.1 Das Viereck

3.2 Vierecks-Arten

Das Quadrat

Alle Seiten sind gleichgroß, gegenüberliegende Seiten zueinander parallel.

Alle Winkel sind gleichgroß ( rechte Winkel ).

Diagonalen ( gleichgroß und zueinander rechtwinklig ) halbieren sich.

Das Rechteck

Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleichgroß.

Alle Winkel sind gleichgroß ( rechte Winkel )

Diagonalen ( gleichgroß ) halbieren sich.

Das Parallelogramm

Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleichgroß.

Gegenüberliegende Winkel sind gleichgroß.

Diagonalen halbieren sich.

Die Raute

Alle Seiten sind gleichgroß.

Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel.

Gegenüberliegende Winkel sind gleichgroß.

Diagonalen ( zueinander rechtwinklig ) halbieren sich.

5. Das Trapez

Ein Seitenpaar ist zueinander parallel

Das Drachenviereck

Es gibt zwei Seitenlängen.

Ein Paar gegenüberliegender Winkel ist gleichgroß.

Diagonalen sind zueinander rechtwinklig und eine Diagonale ( an den gleichgroßen Winkeln ) wird halbiert.

3.2.1 Das Quadrat

Alle Seiten sind gleichlang,

gegenüberliegende Seiten

zueinander parallel.

a = b = c = d

Alle Winkel sind gleichgroß,

und somit jeweils rechte Winkel.

Die Diagonalen sind gleichlang,

verlaufen senkrecht zueinander

und halbieren sich.

Die Figur hat einen Umkreis

und Inkreis.

Flächen-Berechnung

A = a · b

Weil a und b gleichlang sind

Gilt auch A = a · a

Diagonalen-Berechnung

    

3.2.2 Das Rechteck

Gegenüberliegende Seiten sind

gleichlang und parallel zueinander.

a = c und b = d

Alle Winkel sind gleichgroß,

und somit jeweils rechte Winkel.

Die Diagonalen sind gleichlang,

und halbieren sich.

Die Figur hat einen Umkreis

und Inkreis.

Flächen-Berechnung

                       

                 

Diagonalen-Berechnung

     

3.2.3 Das Parallelogramm

Gegenüberliegende Seiten

sind zueinander parallel

und gleichlang.

a = c und b = d 

Gegenüberliegende Winkel

sind gleichgroß.

        Somit gilt:

                                                          

     

Flächen-Berechnung


Durch Verschieben eines Teildreiecks erhält man das Rechteck mit demselben Flächeninhalt a ·  h



Diagonalen-Berechnung

3.2.4 Die Raute

Gegenüberliegende Seiten

sind gleich lang.

Alle Seiten sind gleich lang.

Gegenüberliegende Winkel sind

         gleich groß.                                                

             Somit gilt:

Flächen-Berechnung

3.2.5 Das Trapez

Ein Seitenpaar ist zueinander

parallel ( hier a // c).

Alle Winkel sind unterschiedlich groß.

Die Diagonalen haben keine besonderen Eigenschaften.

Die Figur hat keinen Inkreis

und Umkreis

Flächen-Berechnung

Diagonalen-Berechnung

3.2.6 Das Drachenviereck

Der Drachen hat zwei verschiedene Seitenlängen.

Zwei Gegenwinkel haben dieselben Größe.

Das Drachenviereck hat einen

Inkreis aber keinen Umkreis

Flächen-Berechnung

4.1 Das regelmäßige Sechseck

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus insgesamt 6 gleichseitigen Dreiecken.

      Umkreisradius  a

      Inkreisradius     hD

     

    Formel des gleichseitigen Dreiecks

      

Berechnung der Fläche im Sechseck

5.1 Das regelmäßige n-Eck

Regelmäßige n-Ecke sind drehsymmetrisch unter einem Winkel von

Sie bestehen aus insgesamt n gleichschenkligen Dreiecken.

Gleichschenkliges Dreieck   

Umkreisradius r

                       

6.1 Der Kreis

                                                          

Der Abstand von der Kreislinie zum Mittelpunkt ist von jedem Punkt aus gleich groß. Man nennt diesen Abstand Radius (lat. Stab, Speiche, Strahl)

                                              

6.2 Berechnungen am Kreis

6.2.1 Kreisumfang

6.2.2 Flächeninhalt eines Kreises

 

6.2.3 Flächeninhalt eines Kreisrings

                                

6.2.4 Flächeninhalt eines Kreissektors

                       

         

6.2.5 Flächeninhalt eines Kreissegments

6.2.6 Länge eines Kreisbogens

                                  

6.3 Berechnung von p mittels der Monte Carlo Integration

Es soll die Kreiszahl p mit der MC-Integration berechnet werden. Dazu denken wir uns ein Quadrat mit der Kantenlänge a, in dem sich ein Kreis mit dem gleichen Durchmesser a befindet.

Wir können nun die Formeln für die Flächen des Quadrates und des Kreises hinschreiben und diese ins Verhältnis setzen

Man kann diese Gleichung so umstellen, daß man eine Beziehung zwischen p und dem Verhältnis der Flächen erhält

Zur Berechnung der Verhältnisses der Flächen wird nun eine Monte Carlo Integration eingesetzt. Man geht dazu wie folgt vor:

  • mit einem Zufallszahlen-Generator wird ein x- und ein y-Wert zwischen 0 und a ,,gewürfelt''
  • mit der Pythagoras-Gleichung wird überprüft, ob der gewürfelte Punkt (x,y) im Kreis liegt oder außerhalb
  • die Treffer im Kreis werden gezählt
  • diese Prozedur wird sehr oft wiederholt

Die Gesamtzahl aller Schüsse entspricht der Fläche des Quadrates und die Zahl der Treffer im Kreis entspricht der Kreisfläche. Man erhält dann für p

Das folgende Diagramm zeigt, wie sich der so berechnete Wert von p mit zunehmender Zahl von Schüssen verändert. Man sieht, dass sich die MC-Integration mit zunehmender Zahl an Schüssen langsam dem exakten Wert für p (horizontale Linie) annähert. Den exakten Wert für p würde man nach unendlich vielen Schüssen erhalten.

Der aus diesem Lauf erhaltende Wert für p=3.14388 (der exakte Wert für p wäre:p =3.1415).










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