Die allgemeine Schreibweise für eine ganzrationale Funktion lautet:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + . + a1x+a0
Beispiel: f(x) = 2x3 + x2 + 2
Eine weitere Eigenschaft von der ganzrationalen Funktion ist, dass sie keinen Bruchstrich hat und keine Wurzel.
Im Definitionsbereich sind alle Zahlen anzugeben, die in die Funktion f(x) einsetzten darf! (Hier ist die x-Achse relevant!)
Beispiel: ID = IR
Im Wertebereich sehen wir die Werte welche die Funktion annimmt! (Hier ist die y-Achse relevant!)
Beispiel: W = [-3 ;
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Dies ist z.B. der Fall, wenn |
Dies ist z.B. der Fall, wenn |
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f(- x) = f(x) für alle x ε Df |
f(- x) = - f(x) für alle x ε Df |
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Symmetrisch zur x-Achse |
Symmetrisch zum Ursprung |
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gerade Hochzahlen Beispiel: x4+3x2 |
ungerade Hochzahlen Beispiel: 5x3+2x |
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Wenn keiner diese beiden Fälle eintrifft hat die Funktion keine Symmetrie |
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Vorgehensweise Ersetze in der Funktionsgleichung jedes x durch (- x) und vergleiche das Ergebnis f(-x) mit den Funktionstermen f(x) bzw. - f(x).
Überprüfe bzw. beachte die gefundene Symmetrie beim Aufstellen einer Wertetafel, beim Zeichnen des Graphen und beim Aufsuchen charakteristischer Punkte.
Beispiel: f(- x) = f(x) achsensymmetrisch
Hier wollen wir überprüfen, ob die Funktion f(x) gegen Unendlich eine Asymptote wird oder ob die Funktion f(x) ins unendliche steigt (positiv) oder sinkt (negativ). Hier interessiert uns nicht f(x) um den x-Wert [-5 bis 5], sondern um den x-Wert (1'000'000'000) unendlich.
Hierzu brachen wir den Limes. Da wir die höchste Potenz ausklammern müssen.
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n (grösster vorkommender Exponent der Variable) besitzt höchstens n Nullstellen
Vorgehensweise: Setze den Funktionsterm f(x) = 0
Funktionen 2. Grades: f(x) = ax2 + bx + c
Der variabelfreie Term c ist von Null verschieden (c≠ 0),
Bringe die Gleichung f(x) = 0 auf Normalformd.h. x2 + px + q = 0 (p, q ε IR)
Löse diese Gleichung mittels quadratischer Ergänzung oder mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Der variablenfreie Term c ist gleich Null (c = 0),
ax2 + bx = 0 | x ausklammern
x(ax+ b) = 0
x = 0 und ax + b = 0
einige Beispiele dazu:
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3x2 + 24x +36 = 0 |
3x2 + 24x +51 = 0 |
3x2 + 24x +48 = 0 |
3x2 + 24x = 0 |
Funktionen 3. Grades: f(x) = ax3 + bx2 +cx+ d
Der variabelfreie Term d ist gleich Null (d = 0),
ax3 + bx2 +cx = 0 | x ausklammern
x(ax2 + bx +c) = 0
x = 0 und ax2 + bx +c = 0
Löse die quadratische Gleichung ax2 + bx +c = 0 wie oben beschrieben.
Beispiel: x3-2x2 - 8x = 0
Der variabelfreie Term d ist von Null verschieden (d ≠ 0)
ax3 + bx2 +cx + d = 0 | Eine Nullstelle x1 durch Probieren suchen (meistens zwischen -3 und 3) und die Polynomdivision durch (x - x1) ausführen
(ax3 + bx2 +cx + d) = (x - x1)· g(x)
Die weiteren Nullstellen bestimmt man über die Gleichung g(x) = 0
Beispiel: x3+10x2 + 7x -18 = 0; x1 = 1
Funktionen 4. Grades: f(x) = ax4 + bx3 +cx2+ dx + e
Der variabelfreie Term e ist gleich Null (e = 0)
x ausklammern; x1 = 0 ist Nullstelle;
Löse die verbleibende Gleichung 3. Grades wie oben.
Beispiel: x4 - 4x3-7x2 + 22x = 0
Der variabelfreie Term e ist von Null verschieden: (e ≠ 0)
Eine Nullstelle x1 durch Probieren suchen und die Polynomdivision durch (x - x1) ausführen; eventuell ist diese Vorgehensweise zweimal durchzuführen.
Beispiel: x4 - 4x3-7x2 + 22x = -24
Alle Exponenten sind gerade: f(x) = ax4 + bx2 + e
ax4 + bx2 + e = 0 | ist eine biquadratische Gleichung und wird durch Substitution gelöst: Setze x2 := u
au2 + bu +c = 0 und löse diese in u quadratische Gleichung.
Mache die Substitution wieder rückgängig (Rücksubstitution u = x2)
x2 = u1 und x2 = u2 nach x auflösen.
Beispiel: 32x4 - 2x2 - 9 = 0
Manchmal führt Ausklammern von x2 schneller zum Ziel.
Beispiel: x4 - x3 -6x2 = 0
Geg.: f(x) = 2x3 - x4
Ges.:
a) Definitionsbereich
b) Wertebereich
c) Symmetrie
d) Verhalten der Funktion f(x) gegen
e) Nullstellen
a) ID = IR
b) W = erst am Schluss anzugeben, wenn die Funktion gezeichnet ist
c) Symmetrie
f(x) ≠ f(-x)
f(-x) ≠ -f(x)
Keine Symmetrie! Weder Achsen- noch Punktsymmetrisch
d) Verhalten von f(x) für x
f(x)= 2x3 - x4 = - x4 + 2x3
= x4 (- 1 + 2/x)
Da wir nun die höchste Potenz ausgeklammert haben müssen wir mit dem Limes f(x) untersuchen. Das minus in der Klammer wird beim Limes beibehalten.
lim f(x) = - x4 |x| lim f(x) = - x4 = - |x| lim f(x) = - x4 = - |x|
Nun untersuchen wir den Limes ±
e) Nullstellen
f(x) = 0 setzten
2x3 - x4 = 0 |x3 ausklammern
NS1
(0 / 0) NS2 (2 / 0)
x3 (2 - x) = 0
x1 = 0 und x2 =2 - x = 0 x2 = 2
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