REFERAT-MenüDeutschGeographieGeschichteChemieBiographienElektronik
  EnglischEpochenFranzösischBiologieInformatikItalienisch
  KunstLateinLiteraturMathematikMusikPhilosophie
 PhysikPolitikPsychologieRechtSonstigeSpanisch
 SportTechnikWirtschaftWirtschaftskunde  

Die Transzendenz der Zahle



Die Transzendenz der Zahl e

Die Frage, ob eine Zahl transzendent (nicht algebraisch) oder algebraisch ist, kann man mit Hilfe der algebraischen Gleichung leicht beantworten.

Definition: Eine Zahl x heißt algebraisch, wenn sie folgende Gleichung erfüllt:

, wobei


"algebraische Gleichung"

Eine Zahl x heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist.

z.B.  ist Lösung der Gleichung

Also sind rationale Zahlen algebraisch und daher nicht transzendent, da sie die allgemeine Gleichung

 für  erfüllen.

Aus diesem Grund können nur irrationale Zahlen transzendent sein, wobei sich die Frage stellt, ob wirklich alle irrationalen Zahlen oder nur bestimmte transzendent sind.

z.B.  ist Lösung der Gleichung , woraus folgt, daß  algebraisch ist, obwohl sie eine irrationale Zahl ist.

Aus diesem Beispiel können wir folgern, daß alle Wurzeln Lösungen von algebraischen Gleichungen (d.h. algebraisch) sind.

Wir können somit sehen, daß fast alle gebräuchlichen Zahlen algebraisch sind. Uns sind jedoch schon nach kurzem Überlegen zwei Ausnahmen bekannt:  und e

Für e wollen wir nun den Beweis führen, wobei wir die Irrationalität von e voraussetzen.

Der erste Beweis der Transzendenz von e stammt von Hermite aus dem Jahre 1873. Der hier vorgestellte Beweis ist von David Hilbert 1893 und stellt eine Vereinfachung des Beweises von Hermite dar.

BEWEISIDEE

Die zentrale Idee des Beweises ist die Zerlegung der Zahl e in folgender Weise:

 (Rn wird als Cauchy Rest bezeichnet)

Teil 1 läßt sich als Bruch darstellen:

 mit

Daraus folgt:  ist ganzzahlig.

Teil 2:

, so daß  nicht ganzzahlig ist

Aus diesen beiden Teilen folgt, daß e durch rationale Zahlen besonders gut angenähert werden kann. Allgemein kann jede Zahl x durch rationale Zahlen beliebig nahe approximiert werden, wenn . Bei Zahlen, die schlecht durch rationale Zahlen angenähert werden können, kann es notwendig werden, den Nenner von r sehr groß zu wählen (so groß wie ).

Für e benötigen wir jedoch keinen so großen Nenner, da z.B. schon eine Approximation mit
n = 5 schon auf  genau ist.

Der Beweis der Transzendenz von e hängt ab von der Erweiterung der Idee, e kann durch Brüche besonders gut approximiert werden, daß auch die endlichen Potenzen von e durch Brüche angenähert werden können.

Für den indirekten Beweis nehmen wir an, daß e algebraisch ist. Das heißt wir gehen davon aus, daß die algebraische Gleichung

 für ganzzahlige Koeffizienten erfüllt wird.

Um einen Widerspruch zu erlangen, ist es notwendig bestimmte "Ganzzahlen" M, M1,.,Mn und "Kleinzahlen" I1,..,In zu definieren, so daß

           

Nun stellt sich die Frage, wie klein die I's sein müssen. Dazu setzen wir die Ausdrücke in die algebraische Gleichung ein:

       multipliziert mit M

erhalten wir:     

                          

Der erste Ausdruck ist eine ganze Zahl, und wir wählen die M's so, daß dieser Ausdruck notwendigerweise eine ganze Zahl ungleich 0 wird (Nichtnullganzzahl).

Man kann die I's auch so wählen, daß

Dies wird uns zum Widerspruch führen, da die Summe einer Nichtnullganzzahl und einer Zahl mit dem Absolutbetrag <  nicht 0 sein kann.

Für den Beweis benötigen wir die G-Funktion.

SATZ: e ist transzendent

BEWEIS:

Annahme: Es gibt Ganzzahlen a0,..,an, wobei a0 ¹ 0 ist, so daß

Man definiere Zahlen M, M1,.,Mn und I1,..,In wie folgt

Das p stellt eine Primzahl dar, die später noch näher erklärt und bestimmt wird.

Zuerst betrachten wir M:




Wenn wir nun die Ausdrücke in den eckigen Klammern  ausmultiplizieren, erhalten wir ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten .

Gesteigert um die p-te Potenz entsteht folgendes Polynom:

Folglich kann M in der Form

wobei Ca bestimmte Ganzzahlen sind und  ist.

Von der G-Funktion wissen wir, daß

 durch partielles integrieren zu  wird.

Daraus folgt daß

1) Für  erhalten wir den Term

Wir betrachten nun Primzahlen p > n. Dann ist der Term eine ganze Zahl, welche nicht durch p teilbar ist. C0 ist also nicht durch p teilbar.

2) Für  gilt:

                      

 ist teilbar durch p für .

Aus 1 und 2 folgt, daß M eine Ganzzahl und nicht teilbar durch p ist.

 

 

 

 

 

Nun betrachten wir Mk:

Durch Substitution x = k+u, du = dx erhalten wir den Ausdruck:

Die untere Grenze des Integrals wurde von k auf 0 geändert, da .

Der signifikante Unterschied zwischen M und Mk ist, daß im Ausdruck Mk der Faktor u an der k-ten Stelle vorkommt. Folglich beinhaltet die p-te Potenz den Faktor up. Das bedeutet, daß der gesamte Term

 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist,

                                                                    das zumindest Grad p besitzt

Es folgt:

Da a mit 1 beginnt, ist der kleinstmögliche Term

                       

Also ist D1 durch p teilbar.

Dies gilt auch für a > 1, woraus folgt, daß alle Terme durch p teilbar sind. Somit sind alle Mk durch p teilbar.

Nun ist klar, daß

                            für k = 1,.,n

Eingesetzt in die algebraische Gleichung und multipliziert mit M, erhalten wir:

Zusätzlich zur Bedingung p > n vereinbaren wir, daß   (p kann somit nicht Teiler von a0 sein. Das bedeutet, daß beide, M und a0, nicht durch p teilbar sind, also auch nicht das Produkt der beiden.

Obwohl jedes Mk durch p teilbar ist (M aber nicht), folgt, daß  nicht durch p teilbar ist. Dadurch ist der Ausdruck eine Nichtnullganzzahl.

Um einen Widerspruch zu erhalten und so zu beweisen, daß e transzendent ist, ist es nur mehr notwendig zu zeigen, daß  so klein wie erforderlich gemacht werden kann, indem p groß genug gewählt wird.

Es reicht zu zeigen, daß jedes  beliebig klein gemacht werden kann. Das erfordert einfache Abschätzungen. Für die weitere Beweisführung ist es wichtig sich zu erinnern, daß n eine feste Zahl (Grad der algebraischen Gleichung) ist.

Wenn , dann ist

A sei das Maximum von  für

Dann ist:

 kann beliebig klein gemacht werden, indem man p beliebig groß wählt. ¢










Haupt | Fügen Sie Referat | Kontakt | Impressum | Datenschutz







Neu artikel