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PHASENREGELKREIS




PHASE LOCKED LOOPS

PHASENREGELKREIS




          Allgemeines über den PLL

Ein PLL ist ein Regelkreis, dessen Aufgabe darin besteht, einen Oszillator in Frequenz und Phase mit einem Eingangssignal zu synchronisieren. Sind die beiden Signale synchronisiert, so ist die Phasenverschiebung zwischen den Beiden ein festgelegter Wert. Tritt nun eine Phasenverschiebung zwischen den Signalen auf, die nicht dem festgelegtem Wert entspricht, so  wird der Oszillator solange nachgeregelt, bis die Phasenverschiebung wieder diesem Wert entspricht. Daher der Name Phasenregelkreis oder Phase-Locked-Loop.

Beim PLL betrachtet man anstelle der für Elektroniker anschaulichen Signale u(t) und U(w) das sehr abstrakte (weil meßtechnisch schwer zu erfassende) Signal j(t) bzw. F(w)

Wie gewohnt erweist sich bei der Betrachtung des Übertragungsverhaltens von Netzwerken die Darstellung im Frequenzbereich als günstig. Das Übertragungsverhalten im Zeitbereich (Sprungantwort) erhält man dann am einfachsten mit Hilfe der Laplace-Transormation.

Vereinfachungen: Wie üblich ist das Übertragungsverhalten nur dann mit vertretbarem Aufwand lösbar, wenn sich das System linear verhält. Das ist insbesondere beim Phasenkomparator nicht der Fall. Daher gilt für uns die Näherung, daß der Phasendetektor sich linear erhält

Erhebliche Probleme bei der Behandlung des PLL entstehen durch die Notwendigkeit viele neue Größen einzuführen, deren Bezeichnungen in der Literatur sehr uneinheitlich ist. Es werden sogar gleiche Bezeichnungen für unterschiedliche Größen verwendet. Als Hilfe dient die Tabelle Definiton der verwendeten Größen im Anhang.

          Klassifizierung der PLL Typen

Die PLL Typen werden grundsätzlich in vier verschiedene Gruppen unterteilt:

                        linearer PLL                                     . . . . . LPLL

                        digitalter PLL                                   . . . . . DPLL

                        vollständig digitaler PLL                 . . . . . ADPLL (all-digital)

                        Software PLL                                    . . . . . SPLL

Der lineare PLL (LPLL) gehört zum Arsenal der Analogschaltungen und fand seine erste große Anwendung beim Aufkommen der Fernsehtechnik in den fünfiger Jahren. Er besteht aus den Teilschaltungen Phasendetektor, Schleifenfilter und VCO.

1970 erschienen die ersten digitalen PLL (DPLL). Hiebei wurde als Phasendetektor eine Logikschaltung verwendet, sonst unterschied er sich vom LPLL nicht. Der klassische digitale PLL war also eine Mischung aus Analog- und Digitaltechnik.

Etwa 1980 erschienen dann die vollständig digitalen PLL - Schaltungen (ADPLL). Diesser besteht, wie der Name schon sagt, rein aus digitalen Schaltungen.

In der heutigen Zeit der Mikroprozessoren ist es natürlich auch möglich einen PLL softwaremäßig zu realisieren, mit Hilfe eines uP oder Digitalen Signalprozessoren (DSP). Wir nennen diesen Typ SPLL.

2. Der PLL als Regelkreis

Zur anschaulichen Beschreibung der Funktion, und zur Einführung aller wesentlichen Begriffe soll das Beispiel des LPLL dienen.

2.1 Der LPLL

Je nach PLL Typ werden unterschiedliche Funktionsbausteine benötigt. Für den LPLL brauchen wir, wie schon oben erwähnt, Analogschaltungen (siehe Abb.1). Als Phasendetektor wird ein Multiplizierer verwendet. Als Schleifenfilter wird ein Tiefpass verwendet, da die am Multiplizierer entstehenden Wechselspannungsanteile unerwünscht sind. Als Oszillator wird meist ein VCO verwendet.

Der angeführte Begriff linear bezieht sich wie oben erwähnt auf die Art des Phasendetektors PD. Lineare PDs sind dadurch gekennzeichnet, daß sie aus analogen Bauteilen aufgebaut sind, die im linearen Bereich ihrer Kennlinien arbeiten. Der lineare PD ist nichts anderes als eine analoge Multiplizierschaltung.

Wir setzen die Signale aus Abb. 1, die die Eingangssignale des PDs darstellen, folgendermaßen an:

           

Die Ausgangsspannung des Phasendiskriminators PD, ergibt sich nun durch Multiplikation seiner beiden Eingangssignale und einer konstanten kj:

           

Für die Regelspannung des VCO soll aber nur der Gleichspannungsanteil   herangezogen werden. Dabei ist jw-jn der sogenannte Phasenfehler je. Errechnet man den Wert (duj/dje)max, so erhält man den PD-Gewinnfaktor Kj, welcher die Phasenregelsteilheit des PD charakterisiert. Es ist zu beachten, daß Kj im allgemeinen in V/rad angegeben wird. Außerdem stellt Kj den Maximalwert des Gleichspannungsanteil dar. Den Gleichspannungsanteil erhält man durch den Tiefpaß der nur diesen durchläßt und alle anderen höherfrequenten Signale wegfiltert.

Unter der Annahme, der Wechselspannungsanteil sei vollständig unterdrückt, steht am Ausgang des Tiefpaßfilters folgendes Signal zur Verfügung:

           

 ist dabei der Betrag der Übertragungsfunktion des Filters bei Gleichspannung. Mit der Spannung uT wird nun der VCO angesteuert. Dessen Ausgangsfrequenz beträgt dann:

            wn = wc + KcuT(t)

Wobei w0 die Ruhefrequenz darstellt, und Kv die Regelsteilheit des VCO ist. Setzt man nun die Gleichung für uT ein, dann erhält man

           

Das Produkt KcKj nennt man Schleifenverstärkung und hat die Einheit der Kreisfrequenz.

Beim Einschalten des PLL ist anzunehmen, daß der VCO nicht mit der Frequenz des Eingang Signals anschwingt. Daher muß zuerst ein Vorgang stattfinden, den wir Einrasten nennen. Dieser Einrastvorgang wird später besprochen. Selbst wenn der PLL eingerastet ist, und der VCO der Phasenänderungen des Eingangssignals versucht nachzuregeln, so ist es einleuchtend, daß bei großen Ferquenz- und Phasenänderungen des Eingangssignal der PLL ausrasten kann. Unter welchen Bedingungen der PLL eingerastet bleibt werden wir ebenfalls später behandeln. Vorerst sei einmal angenommen, daß der PLL eingerastet ist und nicht ausrastet.

2.4 Ordnungszahl des PLL

Die Ordnugszahl eines PLL wird durch die Anzahl der Pole des Schleifenfilters festgelegt. Für die Ordnungszahl des PLL gilt, dass sie um eins größer ist als die Anzahl der Polstellen des Schleifenfilter. In unserem konkreten Beispiel mit einem passiven Tiefpass Filter (ein Pol) er-gibt sich also ein PLL zweiter Ordnung.

2.5 PLL im eingerasteten Zustand

Ein PLL wird dann als eingerastet (in lock) bezeichnet, wenn er zu jeder Zeit die Phase jn des Oszillators der Phase jw des Eingangssignals nachregeln konnte.

Im eingerasteten Zustand verhält sich ein PLL 2.Ordnung genau wie ein Nachlauf-Servosystem. Das Nachlauf-Servosystem besteht aus einem Geber Potentiometer G, einem Servoverstärker A sowie einem Motor, der das Folge-Potentiometer F antreibt. Das Servosystem hat die Aufgabe, die Stellung J2 von F derjenigen von G nachzuregeln. In dem Modell entspricht die Stellung (Drehwinkel J2) von G der Eingangsphase J1, während die Stellung (Drehwinkel J2) von F der Phase J2 des VCO Signal entspricht. F kann G  nur dann nachlaufen, wenn der Drehwinkel J1 langsam verändert wird. Wird J1 dagegen sehr rasch verändert, kann die Regelung (Zeitver-zögerung, Trägheit, ) nicht mehr folgen und es entsteht ein großer Phasenfehler Je

2.5.1 Störungen am PLL Eingang 

Ziel ist es, bei einer Störung am Eingang, die Reaktion des Ausgangs beschreiben zu können. Als Störung wird die Anderung der Phase des Eingangssignals gesehen, und danach die Phase des VCO Signals zu berechnen.

Für das Eingangssignal setzen wir  uw(t) = Ûw0 sin(wwt + jw)

a.)  bei t=0 tritt am Eingang ein Phasensprung der Größe Dj auf. Die Störfunktion für die

      Phase am Eingang ist daher  jw(t) = Dj u(t)  , wobei mit u(t) der Sprung am Eingang    

      bezeichnet wird.

b.)  bei t=0 tritt ein Frequenzsprung von ww auf wc+Dw. Somit ergibt sich für die Störfunktion

       jw(t) = Dwt  , verläuft also rampenförmig.

c.)  ab t=0 wird die Frequenz linear gewobbelt. es gilt: ww(t) = wc+Dwt. Da die Phase eines

      Signals dem zeitlichen Integral über die Frequenz entspricht ergibt sich für die Störfunk-

      tion:

2.2 Linearisierung des Netzwerkes

Das Verhalten eines Systems wird in der Regeltheorie allgemein im Frequenzbereich unter der Anwendung der Laplace - Transformation untersucht. Dies setzt allerdings eine Linearität des Netzwerkes voraus. Nun besteht das Problem, daß unser Phasendetektor PD (Multiplizierer) eine Nichtlinearität darstellt, da unser Ausgangssignal des PD gleich ist  uj = Kjsinje. Unter den Voraussetzungen das der PLL stets eingerastet bleibt (ww = wn) und der Phasenfehler klein bleibt kann man eine Vereinfachung durchführen, sinje » je, sodaß das Netzwerk als linear angesehen werden kann. Für Laplace tranformierte Größen werden nun Großbuchstaben verwendet. Wir bezeichnen Laplace transformierte als F(s) (Funktion von s). Es gelten daher folgende Beziehungen:

Für den Phasendetektor:        

Für das Filter:                        

Für den VCO:                        

Nun kann die Antwort Fn(s) bei gegebenen Fw(s) berechnet werden:

Somit ergeben sich zwei neue Begriffe, die wir bei der näheren Betrachtung des PLL brauchen:

1. Phasenübertragungsfunktion:        gibt an welche Anwort jn der PLL abgiebt, wenn am

Eingang eine Phasenstörung jw angelegt wird.

2. Fehlerübertragungsfuntion:                       gibt an, welcher Fehlerwinkel je bei Anlegen einer

Phasenstörung jw am Eingang entsteht

Nun wollen wir H(p) und He(p) auf wn normieren, sodass wir eine allgemein gültige Darstellung von H(p) und He(p) erhalten. Dazu müssen wir F(p) in die obigen Formeln einsetzen. Die Berechnung vereinfacht sich, da der Filtertyp 1 nur ein Spezialfall von Typ 2 mit t2 = 0 ist, und Filtertyp 4 ebenfalls ein Spezialfall von Typ 3.1 ist. Somit muss die Rechnung nur für Typ2 (passiv) und Typ 3.1(aktiv), durchgeführt werden. Wenn noch die Annahme getroffen wird, dass eine High gain loop vorliegt (wn << KjKv), so sind die Phasenübertragungsfunktion H(p) und die Fehlerübertragungsfunktion He(p) annähernd identisch, wodurch sich folgende Beziehungen ergeben:

Nun kann eine normierte Darstellung gemacht werden:

                    H(p)                                                                He(p)

Die Darstellung von He(s) wurde für z =0,707 dargestellt. Man erkennt aus dem Diagramm von He(s), dass für Störsignale jw, deren Frequenz viel kleiner als wn ist, der Phasenfehler gegen null geht. Für Störsignale, deren Frequenzen größer sind als wn geht He jedoch gegen 1, d.h. das diese Fehler nicht mehr ausgeregelt werden können.



2.6 PLL im ausgerasteten Zustand

Wie die Überschrift schon sagt, befindet dich der PLL im ausgerasteten Zustand und ist somit nicht mehr eingerastet. Folglich gilt auch die Näherung sinje » je nicht mehr. Somit ist auch die Laplace-Transformation nicht mehr ohne weiteres anwendbar. Will man trotzdem den Einrastvorgang des PLL berechnen, muß man versuchen, die nichtlineare Differentialgleichung des PLL im Zeitbereich zu lösen. Eine exakte Lösung des Einrastvorganges gibt es allerdings nicht, doch gibt es Näherungslösungen, die durchaus brauchbar sind. Zuerst müssen die Differentialgleichungen für die drei Funktionsbausteine (PD, Filter, VCO) aufgestellt werden.

für den Phasendetektor gilt:               uj(t) = Kjsinje

für das Filter gilt:                                            passives Filter Typ 2

für die Spannung ergibt sich:            

Diese drei Formeln bilden zusammen ein System dreier Differentialgleichungen für die Varia-blen je, uw und uT. Nach Elimination von uw und uT ergibt sich für je folgende Gleichung:

Wenn nun für t1 und t2 die Substituion für wn und z einführen und weiters die meist gültige Vernachlässigung  1/t2 << KjKv  treffen so ergibt sich:

Diese Differentialgleichung ist nichtlinear da sie die Koeffizienten sinje und cosje, die bekannt-lich nichtlinear sind, enthält. Eine exakte Lösung für diese Gleichung ist nicht bekannt. Es gibt jedoch eine Differentialgleichung praktisch identisch mit der eines mathematischen Pendels, so-dass sich die meisten wesentlichen Resultate durch Analogieschüsse herleiten lassen.

Angenommen das Eingangssignal des PLL habe die beliebige Frequenz  ww(t) = ww+Dw, wobei Dw der Eingangsfrequenzoffset genannt wird. Die Phase ist dann (wie vorher gezeigt) gegeben durch  jw = Dwt. Für und gelten dann:

                   daraus ergibt sich für fstör           

2.6.1 Phasensprung:

Nun soll die Frequenz ww des Eingangssignals langsam geändert werden (siehe Störungen am PLL Eingang). Wenn die Anderung langsam genug erfolgt, so bleibt  in der Formel null.

Wird die Frequenz ww immer mehr erhöht, so wird der Phasenfehler immer größer bis er einen Grenzwert erreicht. Wird die Frequenz jetzt noch mehr erhöht, wird der PLL instabil und kann der Phasenänderung nicht mehr folgen. Der Bereich, innerhalb dessen der PLL bei langsamer Veränderung der Eingansfrequenz ww stabil arbeitet heißt Haltebereich (Hold-in-range). Der Haltebereich ±wH stellt die statische Stabilitätsgrenze des PLL dar.

2.6.2 Frequenzsprung

Nun sei angenommen, dass sich die Eingangsfrequenz bei t=0 sprunghaft um Dw ändert. Dann ist die erste Ableitung  nicht mehr null, sondern führt zur Zeit t=0 einen Deltastoss (Dirac-Impuls) aus.   Somit ergibt sich für die Störfrequenz

Es ist ersichtlich, daß der PLL schon vor dem Grenzwert des Haltebereichs instabil wird (vergleiche Analogiemodell Pendel). Es wird daher eine dynamische Stabilitätsgrenze eingeführt die als Pull-out-Frequenz genannt wird. Sie ist definiert durch den maximal zulässigen Frequenzsprung, bei dem der PLL gerade noch nicht ausrastet.

2.6.3 Frequenzrampe

Die Eingangsfrequenz ww wird linear gewobbelt, d.h.  , worin  die Ander-ungsgeschwindigkeit darstellt. Der PLL bleibt nur stabil, wenn die Anderung der Eingangsfrequenz (wobbeln) nicht zu schnell erfolgt (vergleiche Pendel).  Wie später gezeigt wird muss für die Stabilität gelten: 

Stabilitästkriterien:

- Die Eingangsfrequenz ww muss innerhalb des Haltebereichs liegen.

- ww darf keine Sprünge ausführen, die größer als der Pull-out Bereich sind

- die Anderungsgeschwindigkeit (Dw dt) von ww bleibt kleine als der Grenzwert wn2

Nehmen wir an, der PLL sei infolge Übertretung einer dieser Bedingungen ausgerastet. Wird er nun erneut einrasten, sobald alle obigen Bedingungen wieder erfüllt sind? Die Antwort ist nein.

Wenn z.B. der Haltebereich überschritten wird der PLL instabil, und wird auch durch unterschreiten des Haltebereichs nicht stabil werden. Es muss die Frequenz des VCO allmählich auf die Frequenz des Eingangssignal gebracht (gezogen) werden. Dieser Vorgang wird als Pull-in-Vorgang oder Ziehvorgang bezeichnet. Es wird daher ein Ziehbereich (Pull-in-range)  ±wZ definiert. Ein Ziehvorgang wird demnach immer dann stattfinden, wenn Dw kleiner als der Ziehbereich ±wZ ist.

Weiters ist noch der Fangbereich (Lock-in-range) zu definieren. Der PLL ist ausgerastet. Es ist nun möglich den PLL innerhalb einer einzigen Schwebung zwischen uw und un einrasten zu lassen, wenn der Eingangsfrequenzoffset Dw kleiner als der Fangbereich ±wF wird.

Fang- und Ziehbereich müssen streng voneinander getrennt werden. Analog zu den beiden Grenzfrequenzen wZ und wF können die Fangzeit TF (Lock-in-time = Dauer des Fangvorganges) und die Ziehzeit TZ (Pull-in-time=Dauer des Ziehvorganges) eingeführt werden. In der praktischen Anwendung wird nur mehr der Fangbereich ausgenutzt, da die Fangzeit sehr viel kleiner als die Ziehzeit ist.

Die oben definierten Größen liegen im Allgemeinen symetrisch zur Ruhefrequenz wc des VCO (siehe Abbildung).

Diese Abbildung ist nur für den linearen PLL gültig

2.7 Der Einrastvorgang

2.7.1 Der Haltebereich

Zur Wiederholung: Der Haltebereich ist jener, innerhalb dessen der PLL statisch stabil bleibt. Den Haltebereich erhält man durch berechnen der Eingangsfrequenz ww für die der Phasen-fehler je im eingeschungenen Zustand gerade p/2 (90°) beträgt.

ww = wc +Dw         T            jw(t) = Dwt           T              Fw(s) = Dw/s²Daraus läßt sich der Fehlerwinkel Fe(s) berechnen                      

Mit Hilfe des Endwert-Theorems der Laplace-Transformation läßt sich auch der Phasenfehler

im eingeschwungen Zustand berechnen

                        . für kleine Phasenfehler sodass gilt je = sinje

                      

Da sinje nie größer als 1 wird ergibt sich für den Haltebereich    ±wH = KjKvF(0)

F(0) ist für aktive und passive Filter unterschiedlich. Somit ergeben sich für aktive und passive Filter unterschiedlich große Haltebereiche, theoretisch:

Aktivfilter:     ±wH = ¥                                                                                  F(0) ® ¥

Passivfilter:    ±wH = KjKv       Schleifenverstärkung (Loop Gain)               F(0) = 1

Der Haltebereich des PLL mit Aktivfiltern ist in der Praxis durch den Aussteuerbereich des VCO begrenzt.

2.7.2 Der Fangbereich

Der Fangbereich ist jener Bereich, innerhalb dessen der PLL innerhalb einer Schwebungsper-iode zwischen uw(t) und un(t) einrastet (siehe Abb.)

Für Filtertyp 1 und 4 gilt       

Für Filtertyp 2 und 3 gilt       

Für alle PLLs 2.Ordnung gilt            

2.7.3 Der Ziehvorgang

Wenn wir uns die Abbildung des Fangvorganges (oben) nochmal ansehen, sieht es so aus, als würde der PLL nie einrasten, da die Kurve den oberen Wert nie erreicht. Doch betrachten wir die Situation etwas genauer:

1.     Wir trennen nun den PLL zwischen VCO und dem PD auf. Im nicht eingerasteten Zustand enthält Uj, die Ausgangsspannung des PD, keinen Gleichanteil, sodaß der Mittelwert von wn, die Frequenz des VCO Ausgangs, gleich ist der Kreisfrequenz wc des VCOs.




2.     Schließt man nun den Kreis, so liegt an den Eingängen des PD einerseits das Eingangssignal UW(t) mit wW an, ebenso wie daß Ausgangssignal des VCOs mit der Frequenz wn=wc. Es entsteht eine Frequenzdifferenz ww-wn die Zwischen zwei Werten schwankt. Diese Frequenzänderung findet innerhalb einer Periode statt, was dazu führt, daß die obere Halbwelle eine andere Frequenz aufweist als die untere Halbwelle. In der positiven Halbwelle erreicht die Differenz ein Minimum Dwmin, in der Negativen ein Maximum Dwmax.

3.     Daraus folgt, das die Dauer der positiven Halbwelle länger ist als die der Negativen (siehe Abb.). Daher wird die mittlere Frequenz wm in positive Richtung verschoben. Man erhält ein Signal uj(t), daß am Ausgang des Tiefpasses einen Gleichanteil bewirkt.

Die Wellenform des Wobbelsignals ist nun von Dw abhängig. Die Unsymetrie wird mit abnehmenden Dw größer. Durch die größere Unsymetrie wird der Mittelwert wiederum in positiver Richtung verschoben. Dieser Vorgang führt dazu, das die VCO-Frequenz auf den Wert von ww hinaufgezogen wird. Dieser Vorgang wird Ziehvorgang genannt. Der Ziehvorgang findet dann statt, wenn der anfängliche Frequenzoffset kleiner als der Ziehbereich ±wZ ist. Es ergibt sich:

     für High gain loops gilt dann          

Für die Dauer des Ziehvorgangs ergibt sich                      Dw0 anfängliches Dw

Rechenbeispiel:

Ein PLL 2.Ordnung mit einem Tiefpassfilter Typ 2 (passiv) arbeitetbei einer Ruhefrequenz von fc = 100kHz. Seine Resonanzfrequenz fn betrage 3Hz (T sehr schmalbandig). Die Dämpfung wird mit z = 0,7 gewählt

Man berechne TL sowie TP für einen anfänglichen Frequenzoffset von 30Hz. Die Schleifenver-stärkung KjKv betrage 2p*1000s-1. Man erhält:

TL = 5,3 ms     TP = 3,789s                 TP ist also praktisch 1000 mal größer als TL!

2.7.4 Der Ausrastbereich

Der Ausrastbereich (pull-out-range) ist der maximale Frequenzsprung, der am Eingang ange-legt werden darf, ohne das das System ausrastet. Für den stabilen Betrieb darf der statische Phasenfehler nicht größer als p/2 werden, jedoch sind kurzzeitig Phasenfehler bis p zulässig (vergleiche Pendel). Eine exakte Berechnung des Ausrastbereichs für den LPLL ist bisher nicht bekannt. Aus Simulationen ist jedoch eine Näherungsformel hergeleitet worden.

Der Ausrastbereich beträgt demnach      ±wA = 1,8wn(z+1)

Dies bedeutet, dass man prinzipiell bei einem frequenzmodulierten Signal den gesamten Aus-rastbereich ausnutzen darf. Rastet der PLL infolge eines Störimpulses einmal aus, so würde das System mit einem Ziehvorgang wieder einrasten. Da dies aber unter Umständen sehr lange dauert, beschränkt man in den meisten Fällen den Arbeitsbereich auf den Fangbereich.

3.  Analogiemodelle

Die zwei folgenden Analogiemodelle sollen helfen, die Funktionsweise und die Definitionsbereiche des PLL besser zu verstehen. Jedoch sollten sie nicht durch diese erklärt werden, sondern nur zur Unterstützung dienen.

3.1 Analogiemodell - Pendel

Der Abbildung des Pendels ist zu entnehmen, dass der Arm des Pendels mit der Masse M starr mit einer frei drehbaren Achse verbunden ist. Ebenfalls an der Achse befestigt ist die Trommel. An einem beliebigen Punkt der P der Trommeloberfläche sei das Ende eines langen dünnen Faden verbunden, welcher mehrmals um die Trommel gewickelt wurde, und am vorderen Ende eine frei hängende Waagschale befestigt. Auf die Waagschale wird ein beliebiges Gewicht G gestellt. Die Masse des Pendelarms, der Achse, der Trommel, des Fadens und der Waagschale wird mit null angenommen. Liegt kein Gewicht auf der Schale, so hängt der Pendelarm vertikal nach unten. Befindet sich allerdings ein Gewicht auf der Schale, so stellt sich der Pendelarm auf eine Lage je ein.

Auf die Achse wirken drei Drehmomente:

- das von der Erdanziehung hervorgerufene Moment           JE = -Mga sinje

- das Reibungsmoment                                                           JR = -rj'e

- das von der Erdanziehung von G hervorgerufene

  Antriebsmoment                                                                   JA = rG

Analogie des Modells zum PLL:

- Der Phasenfehler je des PLL entspricht dem Ausschlag je des Pendels

- Die Resonanzfrequenz des PLL wn entpricht der des Pendels

- Die Dämpfung z des PLL entspricht der des Pendels

- das auf die Waagschale gelegte Gewicht G entspricht der Störfunktion der Eingangsphase,

  die im dynamischen Verhalten berechnet wurde und das Verhalten des PLL auf eine Ander-

  ung des Eingang beeinhaltet.

                       

Analogieformel errechnet aus dem            dynamischen Verhalten

Diese Formel bestimmt das gewünschte Gewicht zum Zeitpunkt t=0

Um das Modell anwenden zu können musste angenommen werden, das die Reibung des Pendels r in Luft nicht konstant ist, sondern mit einem Faktor cosje variiert. mit dieser An-nahme ist das Modell analog zum PLL. Das rührt von dem Faktor cosje der beim PLL auftrat.

Das bedeutet, dass im unteren Halbkreis die Reibung positiv, im Oberen negativ, sein müsste. Das klingt zunächst unrealistisch, doch stellen wir uns vor ein Gewicht auf die Schale zu legen, sodass das Pendel sich fortlaufend um die eigene Achse im Kreis dreht, ohne zum Stillstand zu kommen (der Faden sei lang genug). Aufgrund der Erdbeschleunigung g wird diese Bewegung nicht gleichförmig verlaufen. Die Winkelgeschwindigkeit im unteren Halbkreis wird also größer sein als jene im oberen Halbkreis. Dann aber wird das mittlere Reibungsmoment JR positiv. Die Annahme, dass der Reibungskoeffizient r des Pendels  proportional zu cosje vari-iert, ist daher physikalisch vertretbar.

Will man jetzt das Verhalten des PLL bei einem beliebigen Eingangsfequenzoffset Dw erhalten, so muss man im Pendelmodel ein entsprechendes Gewicht auf die Waagschale legen, dessen Größe durch die obige Formel gegeben ist. Der Verlauf ist des Winkels je beim Pendel ist dann identisch mit dem Verkauf des Phasenfehlers je beim PLL.Arbeitet der PLL exakt auf der Mittenfequenz wc, dann ist Dw. Folglich gilt dann auch G = 0. Das Pendel hängt dann vertikal nach unten, wodurch je = 0 wird.

3.1.1 Phasensprung - hold in range :

Nun soll die Frequenz ww des Eingangssignals langsam geändert werden, wie vorher gezeigt. Wenn die Anderung langsam genug erfolgt, so bleibt  in der Formel null. Das auf die Waagschale zu setztende Gewicht ist dann       ist also direkt proportional zu Dw. Es entsteht ein Pendelausschlag je und analog dazu ein Phasenfehler je beim PLL. Wir die Frequenz ww immer mehr erhöht, so wird der Pendelausschlag immer größer bis er einmal den Wert p/2 = 90° erreicht. Wird die Frequenz jetzt noch mehr erhöht, wird das Pendel instabil und beginnt zu kreisen. Damit ist der Haltebereich ±wH mit Hilfe des Pendelmodells erklärt

3.1.2 Frequenzsprung - pull out range :

Wie vorher gezeigt, soll das Eingangssignal einen Frequenzsprung ausführen. Diesen Fall kann man realisieren, wenn man Gewicht, welches der Frequenzänderung proportional ist, aus einer bestimmten Höhe auf die Waagschale fallen läßt. Man wird erkennen, dass das Pendel schon bei einem Gewicht G, das einen statischen Ausschlag von weniger als p/2 erzeugen würde, instabil wird. Es wird daher eine dynamische Stabilitätsgrenze eingeführt, die  Pull-out-Frequenz.

3.1.3 Frequenzrampe

Zur Realisierung dieses falls, muss das Gewicht auch rampenförmig gesteigert werden, genauso wie die Frequenz (wobbeln). Man erreicht diesen Effekt wenn man ein Pulver gleichmäßig auf die Schale schüttet. Das Pendel bleibt nur dann stabil, wenn die Schüttgeschwindigkeit (Masse pro Zeiteinheit) einen kritischen Wert nicht überschreitet. Das heißt, dass man die Eingangsfrequenz ww nicht beliebig schnell wobbeln darf. Wie später gezeigt wird muss für die Stabilität gelten: 

Nehmen wir an, der PLL sei infolge Übertretung einer dieser Bedingungen ausgerastet. Wird er nun erneut einrasten, sobald alle obigen Bedingungen wieder erfüllt sind? Die Antwort ist nein. Wurde zum Beispiel der Haltebereich überschritten, so kippt das Pendel im Modell oben über und beginnt zu kreisen. Wäre nun keine Reibung vorhanden, würde das Pendel auch dann weiterkreisen, wenn G auf null reduziert würde. Es ist aber Reibung vorhanden, allerdings wird das Pendel noch weiterkreisen, selbst wenn G unter den dem Haltebereich entprechenden Wert reduziert würde. Sobald das von G erzeugte Antriebsmoment jedoch kleiner wird als das mit-tlere Reibungsmoment des Pendels, wird die Kreisbewegung abgebremst. Das Pendel wird all-mählich langsamer kreisen und schließlich zum Stillstand kommen. Dieser Vorgang wird als Pull-in-Vorgang oder Ziehvorgang bezeichnet.

Weiters ist noch der Fangbereich (Lock-in-range) zu definieren. Der PLL ist ausgerastet, sodass das Modell des Pendels um die eigene Achse kreist. Es ist nun möglich das Pendel in-nerhalb einer einzigen Umdrehung zum Stillstand zu bringen, wenn G genügend reduziert wird.

3.2 Analogiemodell - mechanisch verbundene Scheiben

Das Modell ist identisch zum PLL und soll die Verhältnisse von Frequenz und Phase erläutern. Das Modell der mechanisch verbunden Scheiben besteht aus zwei identischen, schweren Scheiben, mit zwei verschiedenen, zentralen Schäften die mit den Scheiben verbunden sind. Die Schäfte sind so verbunden, daß sie sich bei einer Kraftwirkung in beide Richtungen drehen können. Die Schäfte selber sind durch eine Feder verbunden deren Enden auf den Schäften fixiert ist. Die Feder kann sich nicht biegen, d.h. die Achse die die beiden Schäfte bilden verlassen.

Abbildung 1 mech. verbundene Scheiben

Nun betrachten wir die Abbildung 2 in denen die Scheiben vereinfacht wie Uhren dargestellt sind. Die Zeiger oder Positionsmarker zeigen die jeweilige Phase an. die linke Scheibe ist die "Eingangsscheibe" die im Vergleich zum PLL den Eingang darstellt, wohingegen die "Ausgangsscheibe" rechts den Ausgang repräsentiert. In der Ausgangsstellung sind beide Scheiben in einer neutralen Position. Nun bewegt sich die linke Scheibe (Eingang) langsam im Uhrzeigersinn bis zum Winkel j1. Die Feder beginnt sich zu spannen, die rechte Scheibe bewegt sich jedoch vorerst nicht. Erst als die linke Scheibe den Winkel j2 erreicht beginnt auch die rechte Scheibe sich zu drehen und folgt der linken Scheibendrehung mit einem Phasenunterschied von je = j2. Bei sehr kleiner, gleichbleibender Drehgeschindigkeit der linken Scheibe, wird die rechte Scheibe immer mit einem Phasenfehler von je folgen (siehe vierte Abb. je = j3 - j4). Dieser Phasenfehler ist gleichbedeutend mit dem Phasenfehler beim PLL. Wenn die Eingangsscheibe stehen bleibt, so stoppt auch die Ausgangsscheibe, mit dem fixen Phasenunterschied von je = j3-j4 = j5-j6.



Abbildung 2

Nun stellen wir uns vor, die Scheiben wären wieder in ihrer neutralen Ausgangsstellung. Nun soll die linke Scheibe eine spontane und schnelle Drehung bis j1 durchführen (siehe Abb.3). Die rechte Scheibe kann aufgrund ihrer Massenträgheit nicht sofort reagieren. Die Feder besitzt daher eine große Energie, die nur langsam in eine kinetische Energie zur Drehung der rechten Scheibe übergeht. Die rechte Scheibe wird beschleunigt und erreicht bei j1 ihre größte Geschwindigkeit. Aufgrund der Massenträgheit kommt es natürlich zu einem Überschwingen. Die kinetische Energie der Scheibe wandelt sich wieder in eine Federenergie um. Diese Wechselwirkung würde unendlich lange andauern. Aufgrund von Reibungsverlusten jedoch werden die Überschwingspitzen (die Phasenunterschiede zu j1) kleiner und die Scheibe pendelt sich daher langsam auf j1 ein. Jedoch wir ein kleiner Phasenfehler auftreten, der größer oder kleiner als j1 ist. Die Erklärung dazu wurde im vorherigen Absatz besprochen. Analog entspricht dies einem Phasensprung beim PLL.

Abbildung 3

Als letztes Beispiel sollen dieBilder in Abbildung 4 dienen, wo zu Beginn beide Scheiben bei einer konstanten Geschwindigkeit rotieren. An den Scheiben wir eine blinkende linienförmige Lichtquelle angebracht. Die Blinkfrequenz soll mit der Umdrehungsfrequenz (Zeit pro eine Umdrehung) übereinstimmen. Somit erkennt man die Lichtquelle als stehende Linie. Es wird sich zwischen den beiden Scheiben wiederum, wie schon vorher erkärt, ein Phasenfehler einstellen. Die Umdrehungsfrequenz der Eingangsscheibe wird nun langsam erhöht. Der Zeiger (Lichtquelle) wird daher anfangen im Uhrzeigersinn um die Scheibe zu wandern. Die rechte Scheibe wird nach einer kurzen Verzögerung aufgrund der Massenträgheit die erhöhte Umdrehungsfequenz annhemen und ihr Zeiger wird ebenfalls beginnen zu wandern. Ist die Frequenz um einen gewissen Wert erhöht wird die Umdrehungsfrequenz wieder konstant gehalten. Die Zeiger werden natürlich weiter wandern. Die Blinkgeschwindigkeit wird daher auch erhöht werden müssen. Ist dies geschehen, so müssen beide Zeiger wieder einen stationären Zustand einganommen haben. Betrachtet man nun den Phasenunterschied zwischen linker und rechter Scheibe so erkannt man, daß dieser größer wurde. Auf den PLL bezogen bedeudet dies eine rampenförmige Steigerung der Eingangsfrequenz (wobbeln). Die Ausgangsscheibe simuliert die Reaktion des VCO auf diese Anderung der Eingangsfrequenz.

(Anmerkung: Kopplung der Eingangsscheiben-Umdrehungsfrequenz mit der Blinkrate der Lichtquelle würde die Reaktion des Ausgangs zeigen)

Abbildung 4

4. Loop Filter

Als Filter werden sowohl aktive als auch passive Tiefpässe 1.Ordnung verwendet. Die allgemeine Form der Übertragungsfunktion eines Filters erster Ordnung ist:

Wobei F(p) die Übertragungsfunktion des jeweiligen Filters darstellt.

Als Loop Filter (Schleifenfilter) für den LPLL verwenden wir einen einfachen Tiefpass. Um die Funktion des TP zu verstehen, wird die Berechnung im Zeitbereich einmal gezeigt.

Die Übertragungsfuntion eines Filters lautet allgemein          

Die Berechnung der Übertragungsfunktion für den Tiefpass lautet:

           für      

Um nun die Dämpfung x und wn berechnen zu können, müssen wie zuerst die Phasenübertragungsfunktion H(s) berechnen, die wir im vorigen Kapitel (Linearisierung des Netzwerkes) berechnet haben.

Sie lautet        

Nun setzen wir für F(p) die Übertragungsfunktion unseres Filters ein und erhalten

Nun müssen wir den Nenner der berechneten Phasenübertragungsfunktion dem Nenner der auf wn normierten Phasenübertragungsfunktion (siehe Kapitel Linearisierung des Netzwerks) die entsprechenden Teile für p², p und 1 gleichsetzen. Daraus können wir wn und die Dämpfung x berechnen:

             

Wir erhalten ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten wn läßt sich sichtlich sofort berechnen. Danach braucht man nur in die mittlere Gleichung einsetzen und erhält die Dämpfung.

Mit dieser Methode läßt sich das Verhalten eines jeden beliebigen Filter berechnen. Einige Ergebnisse für Filter finden sich im Kapitel Loop Filter.

Je nach Lage der Pol- und Nullstellen unterscheidet man zwischen vier Filter-Varianten:

1. passives Filter (Tiefpass):            keine Nullstelle   T   (b=0)

2. passives Filter:                              1 Pol und 1 Nullstelle   T    (a,b,c,d ¹ 0)

3. aktives Filter (PI-Glied): 1 Polstelle bei w = 0 (reiner Integrator b = c = 0)

4. aktives Filter (Integrator):          1 Polstelle bei w = 0 (Integrator c = 0), keine Nullstelle


           

           

Filter

F(p)

N(p)

Z(p) von H(p)

Z(p)  He(p)

pass. TP

KvKj

passiv PI

KvKj(pT2+1)

aktiv PI

KvKj(pT2+1)

aktiv RC

KvKj

          Analoge Multiplizierschaltung als Phasendetektor

Für die grundlegende Betrachtung eines PLL eignet sich als Phasendetektor am besten ein Multiplizierer, da er für sinusförmige Signale geeignet ist.

allgemein:

        multiplizieren von zwei Sinus-Signalen

Da der höherfrequente Anteil ohnehin durch Das Tiefpassfilter weggeschnitten wird, kann dieser bei weiteren Betrachtungen weggelassen werden.

mit ww = wn (PLL eingerastet) ergibt sich eine Vereinfachung:

Berücksichtigt man auch die Zeitverzögerung im Phasenkomparator, so wird Kj komplex:

Zeitbereich:    Kjd(t-t0)                      Frequenzbereich:        Kj = Kjejwt0

Voltage-controlled-oszillator  (VCO)

Die Frequenz des Oszillator läßt sich mit Hilfe einer Steuerspannung gemäß der Beziehung

wn = wc + KcuT(t)   variieren. Dies ist notwendig, wenn eine Abweichung von wc benötigt wird. Man braucht dann eine Gleichspannung am VCO. Das ist der Fall, wenn die Eingangssignalfrequenz von der Ruhefrequenz wc des VCOs abweicht. 

Da die Phase jn das Integral von wn ist ergibt sich für diese

Wird nun der Phasenwinkel jn im Bildbereich dargestellt, d.h. Laplace-transformiert, ergibt das

5. Reale PLL Schaltungen










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