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Vektorrechnung unter besonderer Berücksichtigung der Darstellungsmöglichkeiten eines Computer-Algebrasystems


Grundlagen der Vektorrechnung - Projektion? VEKTORPFEILE!!

Beweise, Formeln

Vorgangsweise bei Erstellung eines Moduls - Struktogramm

Vektorrechnung am Dreieck

R2 - Modul

R3 - Modul + Isometrics

Bsps + Tests


Grundlagen der Vektorrechnung:


Definition eines Vektors (Pfeils):

Die Menge aller Pfeile mit derselben Richtung, derselben Orientierung und derselben Länge bildet einen Vektor der Ebene bzw. des Raumes.


Geht ein Vektor von einem Punkt aus, so ist seine Position im Koordinatensystem eindeutig festgelegt.


Grundbegriffe:


Ein Vektor wird durch ein Tupel definiert

Ein Tupel ist die geordnete Zusammenfassung von Zahlen, die eine fixe Reihenfolge besitzen. Jede Zahl steht für die Ausdehnung des Vektors in die jeweilige Richtung.

z.B. Die erste Zahl gibt die Ausdehnung Vektors auf der x-Achse des Koordinatensystems an.


n-Tupel:    geordnete Zusammenfassung von n-Zahlen

Paar:         zweidimensionaler Vektor, auf einer Ebene

Tripel:      dreidimensionaler Vektor, im Raum

links ist ein zweidimensionaler Vektor zu sehen

Sein 2-Tupel oder Paar hat folgende Form:

  x gibt seine Ausdehnung auf der x-Achse an

und y die auf der y-Achse.

 



y


x


Rechenregeln:


*) Addition / Subtraktion             *) Multiplikation / Division





Skalares Produkt:



Bezeichnung: "Skalares Produkt der Vektoren A und B."

Das skalare Produkt zweier Vektoren ergibt immer eine Zahl.



Wenn

dann beträgt der Winkel zwischen A und B 90°


Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt:


gesucht: Vektor, der zu               und normal ist.






wir definieren                  und erhalten 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten








Herausheben von n1 und t:












Substitution:






Festlegung:



Länge eines Vektors:


Die Länge eines Vektors wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet.

Der Vektor schließt mit den Achsen ein rechtwinkeliges Dreieck ein. Der Vektor selbst bildet dabei die Hypothenuse:


 

 




y




x



Winkel zwischen 2 Vektoren:

gesucht: Winkel zwischen den Vektoren                       und



Dabei wird der Cosinussatz angewendet.

Behauptung:


Cos-Satz:



 










Mittelpunkt einer Strecke:

Text Box:




Normalvektorform:

 








Beweis der Behaupung:


 








Flächeninhalt eines Dreiecks bzw. Parallelogramms:

trigonometrische Flächenformel:


           

 












Vorbedingungen:



*)





*)




Herleitung des Flächeninhaltes:







Einheitsvektor:

Um die Länge eines Vektors  auf 1 zu verändern, muß man ihn durch seine


Länge, sprich seinen Betrag, dividieren:




Normalprojektion:


Man projeziert den Vektor b auf den Vektor a und erhält den Vektor b|.

Da man mit den Beträgen der Vektoren argumentiert, kann man mit der Winkelfunktion COS arbeiten.



Man erhält die Länge von b|.

 









Will man nun b| als Vektor, muß man mit Hilfe des Einheitsvektors die Länge von a an die

Länge von b| angleichen. Der erhaltene Vektor ist b|:


Parameterdarstellung:

Die Parameterdarstellung hat im allgemeinen folgende Gestalt:


X stellt die Menge aller Punkte dar, die von P den t-ten Abstand g haben.

 


















Vektorrechnung im R2 - siehe UVEKTR2.MTH:


a)     Die Gerade:


Geraden können in Bezug auf die Vektorrechnung mittels 2er Techniken definiert werden.


Normalvektordarstellung:

hier wird zur Aufstellung der Gerade ein Punkt und ein Vektor normal zur Gerade benötigt. Die Formel hierzu lautet:



Die expandierte Gleichung sieht dann so aus:



Man kann noch immer die Ausdehnung des Normalvektors ablesen.


Parameterdarstellung:


hier wird zur Aufstellung der Gerade ein Punkt und deren Richtungsvektor benötigt. Die Formel hierzu lautet:


Der Parameter t definiert die Punkte, die von dem Ausgangspunkt P den t*g-ten Abstand haben. Da t variabel ist, entsteht eine Gerade.



Lagebeziehungen 2er Geraden:


gegeben: 2 Geraden:





Es gibt 3 Möglichkeiten der Lage der Geraden zueinander:


Es existert ein Schnittpunkt:


Sind die Richtungsvektoren g und h linear unabhängig (l.u.) so existert ein eindeutiges t und s und somit auch ein Schnittpunkt S.



g,h..l.u.

 











g und h sind parallell:

Sind die Richtungsvektoren g und h linear abhängig (l.a.) so existert kein eindeutiges t und s und somit auch kein Schnittpunkt S.

g,h..l.a.

Kein Punkt der einen Gerade existert auch auf der anderen Gerade:

 









Sind die Richtungsvektoren g und h linear abhängig (l.a.) so existert kein eindeutiges t und s und somit auch kein Schnittpunkt S.

g,h..l.a.

Jeder Punkt der einen Gerade existert auch auf der anderen Gerade:

 
g und h sind ident:







b)    Der Kreis:


Der Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M denselben Abstand haben.

Zur Herleitung der Kreisgleichung wird der Satz von Pythagoras angewandt:

    


 












Lagebeziehungen von Kreis und Gerade:


Passante:

Die Gerade hat keinen Kontakt zum Kreis, es gibt keinen Schnittpunkt.

 







Die Gerade berührt den Kreis an einem Punkt. Es existiert ein Schnittpunkt.

 
Tangente:








Sekante:

Die Gerade berührt den Kreis an zwei Punkten. Es existieren zwei Schnittpunkte.

 







Lagebeziehungen 2er Kreise:








k1 und k2 berühren sich nicht:

Der Zentralabstand ist kleiner als die Summe beider Radien.



 








k1 und k2 berühren sich von außen:

Der Zentralabstand ist genau so groß wie die Summe beider Radien.


 







Der Zentralabstand ist kleiner wie die Summe beider Radien und größer als die Differenz der Radien.


 
k1 schneidet k2 und umgekehrt:






k2 berührt k1 von innen:

Der Zentralabstand ist kleiner wie die Summe beider Radien und genau so groß wie die Differenz der Radien.


 







k2 liegt zur Gänze innerhalb von k1, kein Berührungspunkt:

Der Zentralabstand ist kleiner wie die Summe beider Radien und kleiner als Differenz der Radien.


 







Die Tangentengleichung:

Bei der Aufstellung der Tangente in Normalvektorform dient uns der Schnittpunkt mit dem Kreis (S) als Punkt und der Vektor als Normalvektor ():


 












c)     Berechnungen am Dreieck:


Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Schwerelinien im Verhältnis 2:1. Eine Schwerelinie hat ihren Ursprung am Seitenhalbierungspunkt einer Seite und ihr Ende am gegenüberliegenden Eckpunkt.


 
Schwerpunkt:













Höhenschnittpunkt:

Der Höhenschnittpunkt wird durch den Schnitt der Höhen gebildet - welch ein Zufall!

 












Der Schnittpunkt der Winkelsymetralen bildet den Inkreismittelpunkt.

 
Inkreismittelpunkt:












Der Schnittpunkt der Seitensymetralen bildet den Umkreismittelpunkt.

 
Umkreismittelpunkt:













Ankreismittelpunkt:

Die Schnittpunkte der Normalen der Winkelsymetralen, die durch die Eckpunkte gehen, bilden 3 Ankreisschnittpunkte.


hier ist einer dargestellt.

 













Der Gergonnesche Punkt entsteht durch das Schneiden der Geraden die durch die Inkreisberührpunkte und die gegenüberliegenden Eckpunkte gehen.

 
Gergonnesche Punkt:












Der Nagelsche Punkt wird durch den Schnittpunkt der Geraden, die durch die Ankreisberührpunkte und den gegenüberliegenden Eckpunkt gehen, gebildet.

 
Nagelsche Punkt:











Eulersche Gerade:


Geht durch den Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und den Schwerpunkt.



Vektorrechnung im R3 - UVEKTR3.MTH:


Im 3-dimensionalen Raum werden Geraden nur mehr in Parameterform dargestellt. Ebenen hingegen in Parameterform und Normalvektorform.


Parameterform einer Ebene:

Die Parameterdarstellung einer Ebene benötigt 2 Richtungsvektoren (v1,v2) und 2 Parameter (t,s), da sie sich ja in 2 Richtungen ausdehnt.


 












a)     3D - Darstellungen - U3D.MTH:


Darstellung einer Ebene im 3D-Fenster von Derive:


Im 3D-Fenster können Ebenen nur in Normalvektorform dargestellt werden. Weiters muß der Term explizit sein d.h. man drückt die z-Koordinate durch die x und die y-Koordinate aus. Im Klartext: Man löst die Gleichung nach z.

Dann kann man die Ebene im 3D-Fenster zeichnen.


Darstellung von Geraden, Vektoren, Ebenen im 2D-Fenster - Isometric(s):

UISOMET.MTH


Zur Verwendung der ISOMETRIC(S) und anderer dazugehöriger Module ist es notwendig das Utility-File GRAPHICS.MTH entweder im Hintergrund (Transfer/Load/Utility) oder offen (Transfer/Load/Derive) zu laden. Es beinhaltet alle, zur Darstellung 3-dimensionaler Objekte im 2D-Fenster, benötigten Funktionen.


Diese nehmen eine isometrische Projektion vor. Die Ausdehnung eines 3-dimensionalen Objektes wird auf 2 Dimensionen heruntergerechnet, dabei sind alle 3 verwendeten Verzerrungsfaktoren gleich.


Zeichnen der Koordinatenachsen - axes:


Die Funktion axes definiert 3 Geraden, die die Achsen darstellen und sich beliebig lange zeichnen lassen.



















Die Funktion ISOMETRIC(v):


kann zur Projektion eines einparametrigen Vektors verwendet werden. Die 3 Koordinaten des 3-dimensionalen Vektors werden auf 2D umgerechnet.





Anstatt auf den normalen Koordinatenachsen entlangzugehen und an den jeweiligen Werten den Punkt zu setzen, "geht" man an den in axes definierten Achsen entlang.

Da die Neigung dieser Achsen bekannt ist, führt die Addition der Vektoren v1 und v2 zum Punkt R. Die weitere Addition der 3.Koordinate v3 führt zum gesuchten Punkt P.



 


















Die Funktion ISOMETRICS(e , t , t0 , tn ,n , s , s0 , sm , m):

nimmt eine Projektion einer Ebene in Parameterform vor. Zur Darstellung ist die Voreinstellung Option/State/Connected zu empfehlen.

ISOMETRICS erstellt eine 2-dimensionale Matrix eines Ausschnittes der tatsächlichen Ebene.


Bsp:

Die Ebenenfunktion:




Syntax:

ISOMETRICS(e, t, t0, tn, n, s, s0, sm, m)

eEbenengleichung

t.1. Parameter

t0Abstand zwischen den Punkten in t-Richtung

Der Wert sollte negativ sein, die Ausdehnung

erfolgt entgegen der Richtung des

Parameters t.

tnsiehe t0, jedoch bewirkt eine Veränderung

eine Ausdehnung in den pos.

t-Bereich.

n.gibt die Anzahl der erzeugten Knotenpunkte

in t-Richtung an.

s.2. Parameter

s0, sm, m.siehe t0, tn, n, jedoch beziehen sich die

angegebenen Werte auf die Richtung des Vektors s.


linkes Bsp:

ISOMETRICS(e ,t ,-2 ,2 ,8 , s, -2, 2, 8)

 



















Durch Vertauschung der beiden Parameter kann man die Linien in entgegengesetzter Richtung zeichnen. Dadurch wird eine perfektere Ebenendarstellung möglich.


Kugel:



Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, die von einem Punkt denselbem Abstand haben.


b)  Lagebeziehungen:


Lagebeziehungen von Geraden im R3:


Schnittpunkt: 2) Parallel:




3) ident: 4) windschief:




Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade:


1) Schnittpunkt:









Die Gerade g ist parallel zur Ebene E

 
Parallel:







Die Gerade g liegt auf der Ebene E

 
g liegt auf E:







Lagebeziehungen zwischen 2 Ebenen:


Schnittgerade:

E1 und E2 bilden eine Schnittgerade g.


 









E1 und E2 sind parallel.


 
parallel:








ident:

E1 und E2 sind ident.


 








Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen:


E1 und E2 und E3 sind parallel.


 
Stapel-Form:







Z-Form:

E1 bildet eine Schnittgerade g1 mit E2 und E2 eine Schnittgerade g2 mit E3.


 










Dach-Form:


 










Mühlrad-Form:

E1, E2 und E3 bilden eine Schnittgerade g.


 










Schnittpunkt:

E1, E2 und E3 bilden einen Schnittpunkt P.


 










c)  Abstandsberechnungen im R3:


Abstand eines Punktes von einer Geraden:

Vorgangsweise:

*) Aufstellen einer Ebene normal zu g:      E:

*) Schneiden der Gerade mit E:   

*) Betrag des Vektors :            

 









Abstand eines Punktes von einer Ebene:

Vorgangsweise:

*) Aufstellen einer Gerade normal zu E:    g:

*) Schneiden der Gerade mit E:   

*) Betrag des Vektors :            

 










Abstand einer Geraden von einer Ebene:

Voraussetzung: g muß parallel zu E sein

Vorgangsweise:

*) Extrahieren eines Punktes P aus g:        

*) Das Problem ist reduziert auf den Abstand zwischen Punkt und Ebene => siehe 2)

 








Abstand 2er Ebenen:

Voraussetzung: E1 muß zu E2 parallel sein

Vorgangsweise:

*) Extrahieren eines Punktes P aus E1 oder E2:

*) Das Problem ist reduziert auf den Abstand zwischen Punkt und Ebene => siehe 2)

 









Abstand 2er windschiefer Geraden:

Vorgangsweise:

*) Aufstellen einer Ebene E die auf der Gerade g liegt und parallel zu h ist:                              

oder:                   

*) Das Problem ist reduziert auf den Abstand zwischen Gerade und Ebene => siehe 3)    

 





















5) Allgemeine Vorgangsweise bei der Erstellung eines Moduls:


Um alle Fälle, die bei manchen Problemem auftreten, in einem Modul berücksichtigen zu können, muß zwischen ihnen unterschieden und der jeweilige Lösungsweg verwendet werden. Diese Abfrage über nimmt der IF-Befehl, der folgende Struktur hat:



IF Bedingung 1

THEN

ELSE

UNKNOWN


IF Bedingung 2


THEN

ELSE

UNKNOWN





Syntax: IF( THEN, IF(THEN, ELSE, UNKNOWN), UNKNOWN)


Die obige Darstellung zeigt eine 2-fach verschachtelte IF-Bedingung. Wird die in der ersten IF-Anfrage benötigte Bedingung erfüllt, dann wird der Befehl im THEN-Zweig ausgeführt. Ist das nicht der Fall, wird auf den ELSE-Zweig zugegriffen die dortige Aufgabe gestartet. In unserem Fall ist das eine erneute IF-Bedingung, die nach demselben Schema funktioniert wie die übergeordnete.

Jede der beiden hat zusätzlich noch einen UNKNOWN-Zweig zur Verfügung, der dann ausgeführt wird, wenn syntaktische oder andere undefinierte Probleme beim Ablauf des Programms auftreten, wie z.B. die versehendliche Eingabe von Text anstatt einer konkreten Zahl.

Mit diesem Schachtel-Schema können vielschichtige Probleme beliebig genau aufgespaltet und differenziert behandelt werden.




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