Maximilian-Kolbe-Schule
Fachreferat in der Mathematik
f(x)=1/4x^3+x^2+1 (Abb.I-III)
Wir wollen die Fläche S unter dem Graphen
annähernd bestimmen .(Abb.I)
Also teilen wir die Strecke [a,b] in
beispielsweise 3 Teile
Jedes Teil hat dann die Breite: (h)= b-a
3
Dann rechnen wir an den 4 Grenzstellen
jeweils den Funktionswert aus , also
f(a), f(a+h), f(a+2h) und f(b) .
Die Fläche der 3 entstehenden Trapeze
ist zusammen ungefähr so groß , wie
die gesuchte Fläche S.
Das linke Trapez z.B. hat die Fläche :
h*(f(a)+f(a+h))
2
(Das ist die Trapezformel :)
f(a) f(a+h)
h
Die 3 Trapeze zusammen haben also den Flächeninhalt :
S:= h/2 (f(a)+f(a+h)) + h/2(f(a+h)+f(a+2h)) + h/2 (f(a+2h)+f(b)
linkes Trapez Mitteltrapez rechtes Trapez
Das kann man umformen : S:= h/2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+f(b)]
Will man die Fläche genauer annähern
(approximieren), braucht man
mehrere dünnere Trapeze.
Teilt man die Strecke von a nach b
in n Teile ,
so erhält man n Trapeze
der Breite: h= b-a
n
Es folgt die Sehnentrapezformel:
S = h/2*[ f(a) + 2f(a+h) +2f(a+2h)++ 2f(a+(n-1)h) + f(b) ]
und nun folgt eine Beispielrechnung mit n=6 Trapezen
BEISPIELRECHNUNG:
f(x)= 1/4x^3+x^2+1
Gesucht : Schraffierte Fläche S,
also a= -2 , b=1
Wir teilen z.B. in 6 Teile ,
also n=6
( b-a ) => h = 3/6 = ½
n
Wir berechnen die 7 Funktionswerte :
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f(a) |
f(a+h) |
f(a+2h) |
f(a+3h) |
f(a+4h) |
f(a+5h) |
f(b) |
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f(-2) |
f(-1,5) |
f(-1) |
f(-0,5) |
f(0) |
f(0,5) |
f(1) |
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In die Sehnentrapezformel s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)++2f(a+(n-1)h)+f(b))
S = 1/2/2*[3 +2*2,40625 + + 2,25] =
=1/4*[3+ *2,25]
Das Sehnentrapez Verfahren stellt nur eine Näherungsweise Berechnung von Flächen dar ,
somit wird immer ein, wenn auch relativ kleiner, Fehler entstehen .
Der berechnete Näherungswert ist
bei Rechtskrümmung zu klein und bei Linkskrümmung zu groß
( Im Idealfall würden sich die Fehler aufheben .)
Vgl. Folie 2 : ( Beispiel Rechnung )
In der Praxis werden Verfahren dieser Art angewandt , da eine Näherungsweise Bestimmung einer Fläche unter einem Funktionsgraphen meist schon ausreicht .
Das Sehnentrapez Verfahren ist ein relativ genaues Verfahren und wird
mit steigendem n (Abb.III ) schnell sehr genau .
Wir haben einige Funktionen durch Integration lösen können
Aber was wenn Sin (X) z.B. berechnen wollen ,wie geht das?
(Lehrplan Fachbereich Wirtschaft enthält die Integration von sin(x) nicht !!)
Zum Beispiel mit dem Sehnentrapez Verfahren.
Dafür habe ich in Excel einige anschauliche Berechnungen programmiert .
Sie sollen zur Veranschaulichung des gesamten Sachverhaltes dienen ,
speziell die steigende Genauigkeit der Berechnung mit steigendem n soll nochmals eindringlich widergespiegelt werden .
Es folgen Ausschnitte des Programmes :
Berechnung der Fläche die , die SIN- Kurve, von 0 bis "pi"(3,141),über der X-Achse einschließt
Mit 5 Trapezen:
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Das Sehnentrapez Verfahren |
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n=5(Trapeze |
a= |
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b= |
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h = b-a/n |
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h= |
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Funktion :f(x)= |
SIN(x) |
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Sehnentrapez: |
s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)++2f(a+(n-1)h)+f(b)) |
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X-Werte:(a+h) |
Y-Werte:(f(a+h)) |
f(a+h) |
Fläche: |
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max.Fehler : |
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Berechnung der Fläche die , die SIN- Kurve, von 0 bis "pi"(3,141),über der X-Achse einschliest
Mit 100 Trapezen:
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Das Sehnentrapez Verfahren |
f(x)=sin(x) |
n=100(Trapeze |
h= pi/100 |
b='pi' |
a=0 |
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Sehnentrapez: s:= |
s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)++2f(a+(n-1)h)+f(b)) |
h = b-a/n |
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X-Werte:(a+h) |
Y-Werte:(f(a+h)) |
f(a+h) |
Fläche: |
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max.Fehler: |
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Berechnung der Fläche die , die SIN- Kurve, von 0 bis "pi"(3,141),über der X-Achse einschliest
Mit 200 Trapezen:
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Das Sehnentrapez Verfahren |
n=200(Tra.) |
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Funktion :f(x)= |
sin(x) |
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h = b-a/n |
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Sehnentrapez: |
s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)++2f(a+(n-1)h)+f(b)) |
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X-Werte:(a+h) |
Y-Werte:(f(a+h)) |
f(a+h) |
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Fläche: |
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max. Fehler: |
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Quellenverzeichnis :
1. Hirscher/Scheid : Grundbegriffe der Analysis
2.Barner/Flohr : Analysis 1
3.Infinitesimalrechnung 1
