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Formeln fur die Bewegung von geladenen Teilchen in elektrischen Feldern - Nachrichtentechnik

Formeln für die Bewegung von geladenen Teilchen in elektrischen Feldern


Fel = q E mit E =

Vx

 
T Fel = q






Ein geladenes Teilchen bewegt sich im Plattenkondensator. In x-Richtung fliegt es -

durch eine Beschleunigungsspannung UB auf die konstante Geschwindigkeit vx

gebracht - gleichförmig bewegt, in y-Richtung gleichmäßig beschleunigt.


Fy = m ay


Fel = Fy (beschleunigende Kraft ist die elektrische Kraft Fel)


T m ay = q T ay =


vy = ay t = t


sy = ay t2 = t2 mit vx = T t =


T sy =


Es gilt der Energieerhaltungssatz: m v= q UB v= 2 UB


sy = l2 = ( sy ist die Gesamtablenkung des Teilchens, die

es erfahren hat, nachdem es den gesamten Plattenkondensator der Länge l durchflogen hat.)


Wird ein Probekörper von der positiven zur negativen Seite eines Kondensators verschoben,

so gilt die Formel für die maximale Verschiebearbeit W:


UA = mit W = Fel d = q E d T U = = E d












Formeln für die Bewegung von geladenen Teilchen in magnetischen Feldern





Auf ein geladenes Teilchen, daß sich senkrecht zum Magnetfeld bewegt, wirkt die Lorentzkraft FLorentz


FLorentz = q v y B


Die Lorentzkraft ist immer Zentripetalkraft: T FL = FZ


q vy B =


T r =


Bewegt sich das Teilchen nicht senkrecht, sondern fällt es unter dem Winkel j ein, so gilt:


sin j = vy = sin j v (vy ist die Geschwindigkeitskomponente, die das

Teilchen auf eine Kreisbahn zwingt.)



Herleitung für die Umlaufdauer T (Zeit für eine Schraubenbahn):


Es gilt: vy = T T = = =


Herleitung für die Ganghöhe H:


Es gilt: vx = T H = vx T = vx = 2pr = cot j 2pr





Skizze:









Formeln zu den harmonischen Schwingungen



Eine harmonische Schwingung liegt immer dann vor, wenn die Rückstellkraft FR proportional zur

Auslenkung s ist, also wenn FR s.


Für die Frequenz f gilt: f = (T: Umlaufdauer)


Für die Winkelgeschwindigkeit w gilt: w = 2 p f (f: Frequenz)




Herleitung für die Differentialgleichung (DGL) am Federpendel:

[Anm.: Beim Aufstellen der DGL steht links immer die beschleunigende Kraft. Diese wird immer

gleichgesetzt mit der negativen Rückstellkraft FR, da die Rückstellkraft FR immer der Auslenkungsrichtung s

entgegengesetzt ist.]

F = - FR

m a (t) = - D* s (t)

m (t) + D* s (t) = 0

(t) + s (t) = 0


Lösungsansatz (allgemein): s (t) = sin (wt + j0)

(t) = w cos (wt + j0) = v(t)

(t) = - w2 sin (wt + j0) = (t) = a(t)


T   - m w2 sin (wt + j0) + D* sin (wt + j0) = 0


D* = m w2


w2 =


4p2f2 =


f2 =


f =


T  T = 2p






Herleitung der DGL über die Energie:


Wges = Wpot + Wkin [Wpot ist die Spannenergie der Feder]

const. = D* s (t + m v (t)2

const. = D* s (t + m (t)2 ableiten

0 = D* 2 s (t) (t) + m 2 (t) (t)

0 = D* s (t) + m (t)


0 = (t) + s (t)



Herleitung eines Ausdrucks für die Gesamtenergie Wges des Systems:


Wges = D* s (t + m v (t)2

= D* sin2 (wt + j0) + m w2 cos2 (wt + j0)

= [D* sin2 (wt + j0 m w2 cos2 (wt + j0)] mit w2 =

= [D* sin2 (wt + j0 D* cos2 (wt + j0)]

= D* [sin2 (wt + j0 cos2 (wt + j0)] mit [ ] = 1

Wges = D*




Herleitung für die allgemeine Differentialgleichung (DGL) am Fadenpendel:


F = - FR

m a (t) = - FG sin j (t)

m (t) = - m g sin j (t)

(t) + g sin j (t) = 0

(t) + g sin = 0


Für kleine Winkel j (0°<j<20°) gilt: sin

Daraus folgt für die spezialisierte DGL:


(t) + s (t) = 0

[Anm.: Löst man die DGL immer so auf, daß vor dem (t) nichts mehr steht, so ist der Ausdruck vor dem s (t)

immer gleichzusetzen mit w2 .]


Formeln zur Induktion


Skizze :






Für die induzierte Spannung Uind gilt:


Uind = = = = vs B l



Skizze:









In dem Zeitraum Dt wird die Fläche DA = Ds l überstrichen. Es gilt:


Uind = vs B l = B l = B = mit F = B A [F ist der magn. Fluß]

= =



Wegen der Lenzschen Regel und bei n Windungen gilt:


Uind = - ni




1. Fall (B=const.): Uind = - ni B = - ni B

2. Fall (A=const.): Uind = - ni A = - ni A

3. Fall (A und B nicht const.): Uind = - ni = - ni (A + B )



Spezialfall: Eine (lange) Spule befindet sich im Magnetfeld einer (langen) Erregerspule: Uind = - ni A mit B = m0 mr I bzw. = m0 mr [Anm.: = ]

T Uind = - ni A m0 mr




Selbstinduktion bei einer langen Spule:


Es gilt: Uind = - ni A m0 mr mit ni = nerr

= - A m0 mr mit L = A m0 mr

Uind = - L




Experimentelle Bestimmung der Eigeninduktivität L einer Spule:


Schaltkreis:

Uang = UR - Uind

UR = Uang + Uind

I(t) R = Uang - L (t) L (t) = Uang - I(t) R

DGL des Ein- und Ausschaltevorgangs: (t) =



Herleitung für eine sinusförmige Wechselspannung: Uind = - ni

= - ni B (t) mit A(t)=Amax cos (wt)

= ni B Amax w sin (wt)



T







Der elektromagnetische Schwingkreis






Es gilt: Wges = Wel + Wmagn

= C U (t)2 + L I (t)2 U und I sollen nun durch Q ersetzt wer- = C + L (t)2 den, also mit C = und I(t)=(t)

= + L (t ableiten

0 = 2 Q (t) (t) + L 2 (t) (t) 0 = + L (t)

0 = (t) + Q (t) DGL der elektromagnetischen Schwingung








Lösungsansatz (allgemein):


Nach dem Einsetzen der Lösung in die DGL erhält man

w2 =


(Thomson'sche Schwingungsgleichung)

[Anm.: vgl. zu harmonischen Schwingungen T der Ausdruck vor s(t) bzw. hier vor Q(t) ist gleich w2 !!!]









Effektivwerte


Ist die angelegte Spannung eine sinusförmige, so gilt: =

Weiterhin gilt: =


Handelt es sich nicht um eine sinusförmige Spannung, so gilt: =


[Anm.: In Worten: y-Werte quadrieren, alle Flächen berechnen für ein T, alle Flächen addieren, durch T dividieren, Wurzel ziehen, Einheiten beachten!!!]










Formeln zur Wechselstromlehre


Ohmscher Widerstand . Es gilt: =

Kapazitiver Widerstand . Es gilt: =


Induktiver Widerstand . Es gilt: =


4. Spule mit Widerstand:

T  

5. Kondensator mit Widerstand:

T

Widerstand, Spule und Kondensator:

T

[Anm.: Im Resonanzfall, wenn I maximal ist, ist RL = RC .]


Wirkleistung im Wechselstromkreis:





















Formeln zur Optik



I. Beugung und Interferenz


1. An Gitter und Doppelspalt gelten die folgenden drei Formeln:


T für Maxima (für k = 0, 1, 2, 3,)

T für Minima (für k = 1, 2, 3,)[Anm.:Es gibt kein 0. Minimum]

T in beiden Fällen gilt: (Hinw.: Je nach Skizze/Aufgabe, andere Symbole)



Am Spalt gelten folgende beiden Formeln:


T für Minima (hier ist g der Spaltabstand)

T auch hier gilt:




II. Brechung und Dispersion


Es gilt: (a: Einfallswinkel b: Ausfallwinkel;

n: Brechzahl)



Weiterhin gilt noch das Snellius'sche Brechungsgesetz:

[Anm.: c1= Geschwindigkeit im 1. Medium, c2= Geschwindigkeit im 2. Medium]


















Formeln zum Photoeffekt


Es gilt: mit


Beschreibung der Gegenfeldmethode:


Skizze: Bestimmung des Planck'schen Wirkungsquantums h

mit Hilfe von zwei Wertepaaren der Gegenfeldmethode:


(1)

(2)

T 2)




Formeln zum Röntgenbremsspektrum


Skizze:






























Hier gilt: mit


Bestimmung des Planck'schen Wirkungsquantums h: T


Herleitung der Bragg-Bedingung:


Skizze:

(für Max. bei k = 0, 1, 2,)













Formeln für die "Beugung" von Elektronen an einem Kristall


Es gelten zwei Grundformeln:


(1)


(2)


Man kann nun den durch die Beschleunigungsspannung Ub beschleunigten Elektronen eine

Wellenlänge, auch de-Broglie-Wellenlänge genannt, zuordnen.


T






Der Kondensator und seine Kapazität


Es gelten folgende drei Grundformeln:



[Einheit Farad]






Für die Reihenschaltung von Kondensatoren gilt:


[Gilt auch, wenn ein Dielektrikum eingeführt wird, daß nur eine der beiden Platten berührt.]


Für die Parallelschaltung von Kondensatoren gilt:


[Gilt auch, wenn ein Dielektrikum eingeführt wird, daß beide Platten berührt.]



Für die Arbeit am Kondensator gilt:



Formel für einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld


Es gilt: [s: Länge des Leiters im Magnetfeld]


Daraus definiert sich die magnetische (Kraft-)Flußdichte B wie folgt: [Einheit Tesla]



Elektrostatik


Coulomb'sches Gesetz: [r: Abstand zwischen den zwei Ladungsträgern]








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