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Zahlensysteme



Zahlensysteme

 

Generell wird unter folgenden Zahlensystemen unterschieden:

1.     Das dezimale bzw. dekadische System:


ist im Alltag gebräuchlich. Für jede Ziffer stehen Zahlen von 0-9 zur Verfügung. Die verwendete Schreibweise für einen Wert (z.B. 439) ist in Wirklichkeit eine Abkürzung für die Addition der in diesem Wert enthaltenen Potenzen:


Da jeder Stelle eine gewisse Potenz zugeordnet ist (z.B. die 3 in der Zahl 439 ist der Potenz 101 zugewiesen), ist es möglich die "Abkürzung" zu interpretieren.

2.     Das binäre System:

Jede Zahl wird nur durch eine Folge von 0 und 1 definiert. Oft werden auch die Bezeichungen "no-yes", "low-high" oder "L-H" verwendet. Computer gebrauchen für Berechnungen nur das binäre System. Dabei wird eine Ziffer durch die unterschiedliche Höhe des Steuerstroms in den elektischen Leitungen festgelegt, daher die Begriffe "low-high" oder "L-H":

0-no-low-L       ->   entspricht ca. 0 Volt

1-yes-high-H     ->   entspricht ca. 3-5 Volt

Durch eine Abfolge von Impulsen wird eine Zahl gebildet.

Da aber die wenigsten Benutzer mit Binärzahlen rechnen können, muß der Computer die dezimalen Eingaben in den Binär-Code umrechnen.

 

Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen:

Die umzuwandelnde Zahl wird wiederholt durch 2 dividiert und der jeweilige Rest (immer 0 oder 1) von rechts nach links aufgeschrieben. Fertig ist die Binärzahl.

 

An einem Bsp.:

Die Zahl 439 wird umgerechnet:

Division

Rest

Stelle

Die durch die Divisionen entstandenen Reste ergeben hintereinander folgende Zahlenreihe:

111011011

Diese muß aber noch umgekehrt werden um die korrekte Binärzahl zu erhalten:

111011011

wird zu

110110111

439 : 2 = 219

1

9

219 : 2 = 109

1

8

109 : 2 = 54

1

7

54 : 2 = 27

0

6

27 : 2 = 13

1

5

13 : 2 = 6

1

4

6 : 2 = 3

0

3

3 : 2 = 1

1

2

1 : 2 = 0

1

1

Umrechnen von Binärzahlen in Dezimalzahlen:

Genau wie beim Dezimalsystem hat auch im Binärsystem jede Stelle eine gewisse Potenz. Nur ist diese nicht von der Form 10x sondern 2x. Durch das Addieren der Summen aus der jeweiligen Potenz und der Ziffer läßt sich eine Umrechnung vollziehen:


An einem Bsp.:


Die Binärzahl 110110111 wird umgerechnet.

3.     Das hexadezimale System:




Hier sind Ziffern von 0-F bzw. 16 verschiedene Werte für jede Stelle möglich. Hex-Editoren können mit diesem System schon compilierte Codes, meistens nur teilweise, lesbar machen.

Umrechnen von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen:

Analog zu der Umwandlung von Dezimal - in Binärzahlen funktioniert die Umrechnung von Dezimal - in Hexadezimalzahlen, nur daß statt durch 2 durch 16 dividiert und dem jeweiligen Rest eine Ziffer aus der folgenden Tabelle zugeordnet wird:

Rest

Hex-Zahl

 

An einem Bsp.:

439 wird in eine Hexadezimalzahl umgerechnet:

Die aus den Divisionen erhaltenen Reste werden in Hexzahlen umgewandelt, umgedreht und schon hat man das Ergebnis:

*) 7,11,1 wird zu 7B1

*) Umgedreht: 1B7

*) Ergebnis: 439 = 1B7

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

F

Umrechnen von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:

Genau wie beim Dezimalsystem hat auch im Hexadezimalsystem jede Stelle eine gewisse Potenz. Nur ist diese nicht von der Form 10x sondern 16x. Durch das Addieren der Summen aus der jeweiligen Potenz und der Ziffer läßt sich eine Umrechnung vollziehen:

An einem Bsp.:


1B7 wird wieder umgewandelt:

Keywords: Zahlensysteme Dezimal Hexadezimal Binär 










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