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x2



Behauptung:   x² = 2             x ist nicht Element aus Q

Annahme:      x² = 2           x ist Element aus Q   

Wenn es eine Lösung für x gibt kann es nur ein Dezimalbruch sein, da man mit einem abbrechenden Bruch nicht auf die Wurzel von 2 kommen kann.

                               

Also: x² = 2            (p/q)² = 2              x = p/q

q kann nicht  1 sein weil die Wurzel aus 2 zwischen 1 und 2 liegt. Wenn der Nenner nämlich 1 wäre würde der Bruch 1;2;3 er könnte also nicht zwischen 1 und 2 liegen.

Da p/q vollständig gekürzt ist sind p und q teilerfremd und Element aus N.

Wenn x² = 2 mit p/q erfüllt werden soll muss gelten:

x² = 2      (p/q)² = 2           p²/q² = 2

Wenn q nicht 1 ist kann q² auch nicht 1 sein und da p und q teilerfremd sind kann der Bruch keine Natürliche Zahl enthalten also auch keine 2, es gilt:

p²/q² nicht Element aus N              p²/q² ≠ 2

Für x² = 2 existiert keine rationale Lösung.

 










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