Matrizen
Kapitel 1
Was sind Matrizen
Arten von Matrizen
Kapitel 2
Addition
Substraktion
Skalar - Multiplikation
Matrizenmultiplikation
Matrizendivision
Kapitel 3
Kapitel 4
Definition von einer Determinanten
Eigenschaften von Determinanten
Berechnung von Determinanten durch Entwicklung
Christian Behon
8.c
Kapitel 5
Transponierte Matrix
Rechengesetze für T Matrizen
Adjungierte Matrix
Inverse Matrix
Kapitel 6
Cramersche Regel
Lösung über Matrizenrechnung (Inverse Matrix)
1.Kapitel
1.1 Was sind Matrizen
Früher hat man Gleichungssysteme durch ein vollständiges Koeffizientenschema angeschrieben.
z.B.: Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten
Allgemeine Schreibweise:
CATLEY und andere Algebraiker haben ein einfacheres Koeffizientenschema hergeleitet.
Allgemeine Schreibweise für ein Gleichungssystem n Unbekannte :
Allgemeines Glied der Matrix :
Die Zahlen heißen Elemente oder Koeffizienten
der Matrix
,die
Zahl 
der
Zeilenindex, die Zahl 
der Spaltenindex.
Der Koeffizient ist also die Zahl in der -ten Zeile und -ten Spalte
(Zeilenindex vor Spaltenindex) von .
Früher hat man nur Matrizen betrachtet die Quadratisch waren. Das heißt das die Matrix gleich viele Zeilen und Spalten hat. Quadratische Matrizen haben die Ordnung n x n
1.2 Arten von Matrizen
Heute kann man auch nichtquadratische Matrizen lösen. Sie haben die Ordnung n x m
Sonderformen von Matrizen
Eine Matrix kann auch nur aus 1 Zeile bestehen. Ordnung 1*n
Es gibt auch Matrizen die aus einer Spalte bestehen. Ordnung m x 1
2.Kapitel
2.1 Addition von Matrizen
Addition:
Einführen einer neuen Unbekannten:
Beispiel:
2.2 Subtraktion von Matrizen
Die Subtraktion lässt sich anhand der Addition ableiten.
Subtraktionsregel:
Beispiel:
2.3 Skalar-Multiplikation
= Lambda ist ein Skalar
Beispiel:
2.4 Matrizen-Multiplikation
Es ist wichtig, das die Multiplikation von A nach B nur möglich ist, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen von der Matrix B Übereinstimmt.
A hat die Ordnung :
B hat die Ordnung :
Als Ergebnis ergibt sich eine Matrix mit der Ordnung :
Die Multiplikation ergibt sich aus der Multiplikation der Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix B
Beispiel:
Rechenweg:
Im allgemeinen kann man zu je 2 Matrizen A + B nicht beide Produkte A x B und B x A bilden.(Linksmultiplikation und Rechtsmultiplikation)
In Sonderfällen (z.B.: bei quadratischen Matrizen,. ) ist ein Rechtsmultiplikation und Linksmultiplikation möglich, aber die Produkte ungleich.
Beispiel :
2.5 Matrizen-Division
Rechendivisionen für Matrizen existieren nicht.
3.Kapitel
Rechengesetze der Matrizen
4.Kapitel
4.1 Definition von Determinanten
Nur jede quadratische Matrix A lässt sich eine Zeile zuordnen DETERMINANTE
Die Lösung von linearen Gleichungssystemen führte zur Berechnung von Determinanten.
Die Lösung von Determinanten hoher Ordnung ist äußerst Umfangreich. Die Lösung einer
2 x 2 Determinanten erfolgt durch Überkreuzmultiplikation.
Beispiel:
4.2 Eigenschaften einer Determinanten
Einen allen Elementen einer Zeile gemeinsamer Faktoren kann man als Faktor vor die Determinante schreiben
Beim vertauschen der 2 Zeilen, ändert sich das Vorzeichen
Die Determinante hat den Wert 0, wenn eine Zeile eine Linearkombination der anderen Zeile ist.
Die Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu einer Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addiert.
Die Determinante ändert ihren Wert nicht , wenn man Spalten und Zeilen vertauscht
Eine Determinante D lässt sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile entwickeln das Bedeutet :
Sind Unterdeterminanten, wenn man die dazugehörige Zeile und die dazugehörige Spalte streicht.
Beispiel:
5.Kapitel
5.1 Transponierte Matrix:
Die Transponierte Matrix besitzt in der gewöhnlichen Algebra keine Ahnlichkeit.
Jeder Matrix kann man eine 2 Matrix zuordnen. Sie entsteht aus ,
durch vertauschen von Zeilen und Spalten.
Beispiel:
Sonderfall einer quadratischen Matrix:
In diesem Fall braucht man ein Element an der Hauptdiagonale zu spiegeln.
5.2 Rechengesetze für T Matrizen.
5.3 Adjungierte Matrix:
Vorraussetzung zur Bildung einer adjungierten Matrix ist das sie quadratisch sein muss
Die Elemente werden durch die Adjunkte (Unterdeterminante) der Elemente von ersetzt.
Die Unterdeterminanten werden wie bei der Entwicklung von Determinanten nach Zeilen oder Spalten ermittelt.
Beispiel:
5.4 Die Inverse Matrix
Die Inverse Matrix berechnet sich aus der adjungierten Matrix : adj.A dividiert mit |A|
Beispiel:
6Kapitel
6.1 Cramersche Regel :
Schreibt man die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems mit Gleichungen und Variabeln als Element einer Determinante D in der durch das Gleichungssystem gegebenen Anordnung und bezeichnet mit Die Determinante die aus der Determinante dadurch hervorgeht dass die Spalte gestrichen und dafür die Rechte Seite des Gleichungssystems gesetzt wird so ist
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