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Formeln fur Winkelfuntionen Formeln zur Trigonometrie

Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonometrie)


sin2x + cos2x = 1 Trigonometrischer Pythagoras


sin2x2 + cos2x2 = 1


Darstellung des Sinus mit Hilfe von anderen Winkeln


sin x = (1 - cos2x)




tan x

sin x =

(1 + tan2x)


1

sin x =

(1 + cot²x)

tan x * cot x = 1


Darstellung des Kosinus mit Hilfe von anderen Winkeln


cos x = (1 - sin²x)


1

cos x = (1 + tan²x)

cot x

cos x =

(1 + cot²x)


Darstellung des Tangens mit Hilfe von anderen Winkeln


sin x

tan x =

(1 - sin²x)


(1 - cos²x)

tan x =

cos x


1

tan x =

cot x


Darstellung des Kotangens mit Hilfe von anderen Winkeln


sin²x)

cot x =

sin x


cos x

cot x =

(1 - cos²x)



1

cot x =

tan x





Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck


x:= alpha y:=beta



a

sin x =       'Gegenkathete / Hypotenuse"

c


b

sin y = = cos x

c



b

cos x = 'Ankathete / Hypotenuse'

c


a

cos y = = sin x

c



a

tan x = 'Gegenkathete / Ankathete'

b


b

tan y = = cot x

a



b

cot x = 'Ankathete / Gegenkathete'

a


a

cot y = = tan x

b




Komplementwinkelbeziehung



sin (90° - x) = cos x


cos (90° - x) = sin x


tan (90° - x) = cot x


cot (90° - x) = tan x






Additionstheoreme



sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y


cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y


tan x + tan y

tan (x + y) =

1 - tan x * tan y


cot x * cot y - 1

cot (x + y) =

cot x + cot y


sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x


cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y


tan x - tan y

tan (x - y) =

1 + tan x * tan y


cot x * cot y + 1

cot (x - y) =

cot y - cot x



Funktionen des doppelten Winkels


2 tan x 1 + cot2 x

sin 2x = sin (x + x) = 2 sin x * cos x = =

1+tan2 x 2cot x

cos 2x = cos (x + x) = 1 - 2 sin²x = 2 cos2x -1 = cos2 x - sin2 x


2 tan x

tan 2x =

1 - tan²x


cot²x - 1

cot 2x =

2 cot x



Extra: sin 3x = sin (x + 2x)


= sin x * cos 2x + cos x * sin 2x


= sin x(1 - 2 sin²x) + cos x * 2 sin x * cos x


= sin x - 2 sin3x + 2 sin x cos²x


= sin x - 2 sin3x + 2 sin x (1 - sin²x)


= 3 sin x - 4 sin3x






Funktionen des halben Winkels




x x x x

sin x = sin + = 2sin * cos

2 2 2 2




x x x x x x

cos x = cos + = 2cos2 - 1 = cos2 - sin2 = cos2

2 2 2 2 2 2


x

- 1 - cos2

2



x 1 + cos x

cos =

2 2





x 1 - cos x

sin = ±

2 2




x 1 - cos x 1 - cos x

tan = =

2 1 + cos x sin x




x 1 + cos x Man beachte bei der folgenden Tabelle

cot = die Struktur der Radikanten, deswegen wurde

2 1 - cos x nicht gekürzt





p

/4 p

p

p

p

3/2 p

2 p


x

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°


sin x

/2



/2


0

-1

0


cos x


/2



/2

-1

0

1


tan x





n.d.

0

-

0


cot x

n.d.




0

n.d.

0

n.d.



Umwandlung von Summen von Winkelfunktionen in Produkte



(I) sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y ¦

(II) sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y ¦ (I) + (II) = (III)


(III) sin (x + y) + sin (x - y) = 2 sin x * cos y



a = x + y (1')

b = x - y (2')


a + b = 2x


a + b

a =

2


a + b b - a

y = a - =

2 2


2a a + b 2a - a - b

- =

2 2 2



a + b b - a

sin a + sin b = 2 sin * cos

2 2



(I) sin (x + y) = sin x * cos y + sin y * cos x ¦

(II) sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x ¦ (I)-(II)


a + b a - b

sin x - sin y = 2 cos * sin

2 2


sin (x + y)

tan x + tan y =

cos x * cos y


sin (x - y)

tan x - tan y =

cos x * cos y


sin (y + x)

cot x + cot y =

sin x * sin y


sin (y - x)

cot x - cot y =

sin x * sin y

x + y x - y

cos x + cos y = 2cos *cos

2 2

x + y x - y

cos x - cos y = - 2sin *sin

2 2

Quadrantenbeziehungen


I II III IV


x 180° - x 180° + x 360° - x



sin sin x sin x - sin x - sin x


cos cos x - cos x - cos x cos x


tan tan x - tan x tan x - tan x


cot cot x - cot x cot x - cot x




Sinussatz der ebenen Trigonometrie



Satz: In jedem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Sinus zweier Winkel gleich dem dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seiten.


x:= alpha y:= beta z:= gama R:= Radius des Umkreises



a b c

= = = 2 R

sin x sin y sin z


Der Kosinussatz


In jedem ebenen Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des (von diesen Seiten) eingeschlossenen Winkels.



c² = a² + b² -2ab * cos z


a² = b² + c² -2bc * cos x


b² = a² + c² -2bc * cos y


Kosinusformeln


a = b cos z + c cos y


b = a cos z + b cos x Projektionssatz


c = a cos y + b cos x


Tangensformeln


a sin y

tan x =

c - a cos y


a sin z

tan x =

b - a cos z


b sin z

tan y =

a - b cos z


b sin x

tan y =

c - b cos x



c sin y

tan z =

a - c cos y


c sin x

tan z =

b - c cos x


Mollweidsche Formeln (Karl Mollweide 1744 - 1825, Mathemat. u Astronom)


x y - z

(b + c) * sin = a cos

2 2


y z - x

(a + c) * sin = b cos

2 2


z x - y

(a + b) * sin = c cos

2 2


x y - z

(b - c) * cos = a sin

2 2


y z - x

(c - a) * cos = b sin

2 2


z x - y

(a - b) * cos = c sin

2 2


Nepersche Gleichungen (J.Neper engl. Mathemat. 1550-1617)


x + y

a + b tan

2

=

x - y

a - b tan

2


y + z

b + c tan

2

=

y - x

b - c tan

2






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