Exponentialfunktionen

Definition: Zuordnungen der Form

x q ^x (qI |R

heißen Exponentialfunktionen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen: für jede Exponentialfunktion gilt:

a: der Graph der Funktion

steigt für q > 1, die Funktion ist streng monoton steigend

sie fällt für 0 < q < 1, die Funktion ist streng monoton fallend

b: der Graph liegt oberhalb der x-

Achse, daraus folgt: die Menge

aller Funktionswerte ist R

c: der Graph approximiert

den negativen Teil der x-

Achse für q > 1

den positiven Teil der x-Achse

für 0 < q < 1

Praktische Anwendung der Exponentialfunktionen: - Kapitalanlagen

Pflanzenwuchs

Gleichmäßiges Wachstum

Zerfall von Stoffen

Beachte: Im Unterschied zu den Potenzfunktionen ist bei Exponentialfunktionen die

Hochzahl variabel.

Beispiel:

Die Funktion x          2^x ; x I |R heißt Exponentialfunktion zur Basis 2.

Für diese Funktion gilt:

Der Graph steigt; die Funktion ist streng monoton wachsend.

Der Graph liegt oberhalb der 1. Achse. Die Funktion nimmt jede positive reelle Zahl als Funktionswert an.

Für x < 0 ist 0 < 2^x < 1,

für x = 0 ist 2^x

für x > 0 ist 2^x > 1.

Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der 1. Achse an. Die 1. Achse ist

Asymptote des Graphen.

Jedesmal, wenn x um s wächst, wird der Funktionswert 2^x mit 2^s multipliziert.

^y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 ^x

Stelle Funktionswert

x 2^x

+ s                                                     _* 2^s

x+s 2^{x + s x s}

bei unterschiedlicher Wahl der Basis wird der Graph der Funktion gestreckt oder gestaucht. Siehe oben !!!

Lineares Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme der Größe y um den gleichen Betrag.

Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = mx + b

Exponentielles Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung der Größe y mit dem gleichen Faktor b (Wachstumsfaktor).

Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = a _* b^x

Logarithmusfunktionen:

Gegeben seien zwei positive Zahlen y und q (wobei q = 1). Wir suchen diejenige

(Hoch-)Zahl x, mit der man q potenzieren muß, um y zu erhalten: y = b^x

Diese Zahl x heißt der Logarithmus von y zur Basis q; Bezeichnung: x = log_b y.

Logarithmengesetze:

(L1):   log_b (u * v) = log_b u + log_b v (für u , v I |R

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

(L2):   log_b (u^t) = t * log_b u (für u , t I |R

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus der Hochzahl und dem

Logarithmus der Basiszahl.

(L1*): log_b ^u _v) = log _b u - log_b v (für u , v I |R

Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz des Logarithmus

des Zählers und des Logarithmus des Nenners.

Eigenschaften von Logarithmusfunktionen

Für jede Logarithmusfunktion x wird zugeordnet log_b x; xI|R mit b > 1 gilt:

Der Graph steig; die Funktion ist streng monoton steigend

Die menge aller Funktionswerte ist |R. Es gilt

log_b x < 0 für 0 < x < 1

log_b x = 0             für x = 1

log_b x > 0  für x > 1

Der Graph approximiert den negativen Teil der Y-Achse.

Die Graphen aller Logarithmusfunktionen haben den Punkt P (1;0) und nur diesen

Gemeinsam.

Graph der o.g. Logarithmusfunktion:

Die Lorarithmusfunktion ist eine Umkehrung der Exponentialfunktion. Gegeben seien zwei positive Zahlen y und b (b ungleich 1). Es wird die (Hoch-) Zahlx gesucht, mit der man b potenzieren muß um y zu erhalten.

Übungsaufgabe:

Eine Größe y wachse exponentiell. In der Zeiteinheit x = 1 wachse sie an mit dem Faktor

b.     Zum Zeitpunkt x = 0 habe sie den Wert a.

a)     Fülle die Tabelle aus.

b)    Zeige: Zum Zeitpunkt x hat die Größe y den Wert y = a _* b^x

Zeit Größe y

0 a

1 [ ]

2 [ ]

3 [ ]

.

.

.

x [ ]