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Exponentialfunktionen



Exponentialfunktionen

 

Definition:       Zuordnungen der Form

                                   x           q x                          (qI |R+ )


                           heißen Exponentialfunktionen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen:           1.    für jede Exponentialfunktion gilt:

                                                                                          

          a:  der Graph der Funktion

-        steigt für q > 1, die Funktion ist streng monoton steigend

-        sie fällt für 0 < q < 1, die Funktion ist streng monoton fallend

          b:   der Graph liegt oberhalb der x-

                Achse, daraus folgt: die Menge  

                aller Funktionswerte ist R+

          c:   der Graph approximiert

-    den negativen Teil der x-

                                                                                                     Achse für q > 1

-        den positiven Teil der x-Achse

      für 0 < q < 1

Praktische Anwendung der Exponentialfunktionen:  -     Kapitalanlagen

-        Pflanzenwuchs

-        Gleichmäßiges Wachstum

-        Zerfall von Stoffen

Beachte: Im Unterschied zu den Potenzfunktionen ist bei Exponentialfunktionen die 

               Hochzahl variabel.

Beispiel:

Die Funktion x          2x ; x I |R heißt Exponentialfunktion zur Basis 2.

    Für diese Funktion gilt:

           

(1)  Der Graph steigt; die Funktion ist streng monoton wachsend.

(2)  Der Graph liegt oberhalb der 1. Achse. Die Funktion nimmt jede positive reelle Zahl als Funktionswert an.

Für  x < 0 ist 0 < 2x < 1,

für x = 0 ist 2x = 1,

für x > 0 ist 2x > 1.

(3)  Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der 1. Achse an. Die 1. Achse ist  

Asymptote des Graphen.

(4)  Jedesmal, wenn x um s wächst, wird der Funktionswert 2x mit 2s multipliziert.

                                                                                             

y


                                                         -6    -5    -4    -3    -2    -1            1     2     3     4     5    x

 

  Stelle                   Funktionswert

            x           2x

+ s                                                     * 2s

            x+s        2x + s = 2x * 2s                                                                                                                                                                                

bei unterschiedlicher Wahl der Basis wird der Graph der Funktion gestreckt oder gestaucht.  Siehe oben !!!

Lineares Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme der Größe y um den gleichen Betrag.

Funktionsgleichung der Funktion Zeit x           Größe y:  y = mx + b

Exponentielles Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung der Größe y mit dem gleichen Faktor b (Wachstumsfaktor).

Funktionsgleichung der Funktion Zeit x           Größe y:   y = a * bx

Logarithmusfunktionen:

 




Gegeben seien zwei positive Zahlen y und q (wobei q = 1). Wir suchen diejenige

(Hoch-)Zahl x, mit der man q potenzieren muß, um y zu erhalten: y = bx.

Diese Zahl x heißt der Logarithmus von y zur Basis q; Bezeichnung: x = logb y.

Logarithmengesetze:

 

(L1):   logb (u * v) = logb u  +  logb v    (für u , v I |R+)

            Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

(L2):   logb (ut) = t * logb u (für u , t I |R+)

            Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus der Hochzahl und dem          

            Logarithmus der Basiszahl.

(L1*): logb (u/v) = log b u - logb v (für u , v I |R+)

            Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz des Logarithmus   

            des Zählers und des Logarithmus des Nenners.

Eigenschaften von Logarithmusfunktionen:

Für jede Logarithmusfunktion x wird zugeordnet logb x; xI|R+ mit b > 1 gilt:

(1)  Der Graph steig; die Funktion ist streng monoton steigend

(2)  Die menge aller Funktionswerte ist |R. Es gilt

logb  x < 0 für 0 < x < 1

logb   x = 0             für x = 1

logb x > 0  für x > 1

(3)  Der Graph approximiert den negativen Teil der Y-Achse.

(4)  Die Graphen aller Logarithmusfunktionen haben den Punkt P (1;0) und nur diesen

Gemeinsam.

 

 

Graph der o.g. Logarithmusfunktion:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Lorarithmusfunktion ist eine Umkehrung der Exponentialfunktion. Gegeben seien zwei positive Zahlen y und b (b ungleich 1).  Es wird die (Hoch-) Zahlx gesucht, mit der man b potenzieren muß um y zu erhalten.

 

 

 

Übungsaufgabe:

     Eine Größe y wachse exponentiell. In der Zeiteinheit  x = 1 wachse sie an mit dem Faktor  

b.     Zum Zeitpunkt x = 0 habe sie den Wert a.

a)     Fülle die Tabelle aus.

b)    Zeige: Zum Zeitpunkt x hat die Größe y den Wert y = a * bx

                                  Zeit                              Größe y


                                     0                      a

                                  

 1                      [  ]

 

 2                      [  ]

 3                      [  ]

 .

 .

 .

                                    x                      [  ]

 










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