Projekt Mathematik

Kurze Einführung in die elementare Mathematik

 

 

 

 

Inhaltsverzeichnis

1 MATHEMATISCHE HILFSMITTEL 3

1.1 Grundlagen der Aussagenlogik 3

1.1.1 Verknüpfungen 3

1.1.1.1 Die „Und“-Verknüpfung (Konjunktion) 3

1.1.1.2 Die „Oder“-Verknüpfung (Alternative) 3

1.1.1.3 Die „Entweder-Oder“- Verknüpfung (Disjunktion) 4

1.1.1.4 Die „Nicht“-Verknüpfung (Negation) 4

1.1.1.5 Die „Wenn-So“-Verknüpfung (Implikation) 4

1.1.1.6 Die Äquivalenz 5

2 MENGEN 5

2.1 Der Mengenbegriff 5

2.2 Relationen zwischen Mengen 6

2.2.1 Gleichheit von Mengen 6

2.2.2 Teilmenge, Restmenge 6

2.3 Operationen mit Mengen 6

2.3.1 Vereinigungsmenge 6

2.3.2 Durchschnitt 7

2.3.3 Differenz 7

2.3.4 Produktmenge 8

2.3.5 Potenzmenge 8

2.4 Zusammenfassung 8

3 ZAHLBEREICHE 8

4 DER BEREICH DER NATÜRLICHEN ZAHLEN 9

4.1 Rechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen 9

4.1.1 Addition 9

4.1.2 Subtraktion 10

4.1.3 Multiplikation 10

4.1.4 Division 11

5 DER BEREICH DER GANZEN ZAHLEN 11

5.1 Wesen und arithmetische Struktur 11

5.1.1 Vorzeichenregeln 11

6 DER KÖRPER DER RATIONALEN ZAHLEN 12

6.1 Wesen der rationalen Zahlen 12

6.2 Die Menge der rationalen Zahlen als Zahlenkörper 12

7 ABSOLUTE BETRÄGE UND ABSCHÄTZUNGEN 13

7.1 Absolute Beträge 13

7.2 Abschätzungen 13

7.2.1 Allgemein 13

7.2.2 Bernoullische Ungleichung 13

7.2.3 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 14

7.2.4 Dreiecksungleichung 14

8 POTENZEN, LOGARITHMEN 14

8.1 Potenzen mit rationalen Exponenten 14

8.2 Rationalmachen des Nenners 16

8.3 Potenzen von Binomen (binomischer Lehrsatz) 16

8.4 Logarithmen reeller Zahlen 17

8.4.1 Definitionen und Gesetze 17

8.4.2 Logarithmensysteme 18

1. 
   Mathematische Hilfsmittel

1. Grundlagen der Aussagenlogik

Gegenstand mathematischer Betrachtungen sind Aussagen. Die aussagenlogischen Konstanten dienen dazu, Aussageformen zu neuen Aussageformen zu verknüpfen.

Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.

1. Verknüpfungen

1. Die „Und“-Verknüpfung (Konjunktion)

Symbol der „Und“-Verknüpfung: Ù

Die beiden Aussageformen „2 teilt x; 3 teilt x“ werden durch „Und“ zusammengefaßt zu der einen Aussageform „2 teilt x und 3 teilt x.“

Die Konjunktion zweier Aussagen ist wieder eine Aussage, und sie ist genau dann wahr, wenn jede der beiden durch „Und“-verknüpften Komponenten wahr ist.

Tabelle 1 Wahrheitstafel der „Und“-Verknüpfung

A	w	f	w	f
B	w	w	f	f
A Ù B	w	f	f	f

2. Die „Oder“-Verknüpfung (Alternative)

Symbol der „Oder“-Verknüpfung: Ú

Während das umgangssprachliche „Oder“ verschiedene Bedeutungen hat, verwendet man in der Mathematik das „Oder“ meist im Sinne des lateinischen „vel“ als nichtausschließendes „Oder“, z.B., wenn man sagt:

Jede natürliche Zahl, die größer als zwei ist, ist eine Primzahl,

oder sie besitzt einen Primteiler.

Eine Alternative ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine ihrer Komponenten wahr ist:

Tabelle 2 Wahrheitstafel der „Oder“-Verknüpfung

A	w	f	w	f
B	w	w	f	f
A Ú B	w	w	w	f

3. Die „Entweder-Oder“-Verknüpfung (Disjunktion)

Symbol der „Entweder-Oder“-Verknüpfung: ÀÙ

Die „Entweder-Oder“-Verknüpfung soll an Hand eines kleinen Schaltbildes verdeutlicht werden:

Abbildung 1 Darstellung der Disjunktion als Schaltung

Die Disjunktion ist genau dann wahr, wenn ein Schalter oben und ein Schalter unten steht (Leuchten der Glühlampe). "Entweder" ist S1 oben (wahr) und S2 unten (falsch), „Oder“ S1 ist unten (falsch) und S2 oben (wahr).

Tabelle 3 Wahrheitstafel der „Entweder-Oder“-Verknüpfung

A	w	f	w	f
B	w	w	f	f
A ÀÙ B	f	w	w	f

4. Die „Nicht“-Verknüpfung (Negation)

Symbol der „Nicht“-Verknüpfung: Ø

Bei nichtklassischen Auffassungen wird die Negation entweder überhaupt nicht zugelassen, oder je nach dem eingenommenen Standpunkt interpretiert. Wenn man die Negation zuläßt, geschieht das immer derart, daß nie zugleich eine Aussage und ihre Negation anerkannt werden. Im klassischen Fall der zweiwertigen Logik folgt daraus, daß „nicht“ den Wahrheitswert umkehrt (negiert).

Tabelle 4 Wahrheitstafel der „Nicht“-Verknüpfung

A	w	f
Ø A	f	w

5. Die „Wenn-So“-Verknüpfung (Implikation)

Symbol der „Wenn-So“-Verknüpfung: Þ

Gelesen: Wenn A so B (AÞB). Andere Aussageformen sind „Wenn A, dann B“ oder „Aus A folgt B“

ç B gilt, wenn A gilt

ç A ist hinreichend für B

ç B ist notwendig für A

ç A kann nur gelten, wenn B Gilt 23916umo57umc9i

ç Wenn A falsch ist, wird nichts ausgesagt.

ç Gegenüber den anderen Verknüpfungen hat die „Wenn-So“-Verknüpfung keinen inneren Zusammenhang.

Tabelle 5 Wahrheitstafel der „Wenn-So“-Verknüpfung

A	w	f	w	f
B	w	w	f	f
A Þ B	w	w	f	w

ç Aus etwas Wahrem folgt also immer etwas Wahres!

ç Aus etwas Falschem kann etwas Wahres oder Falsches folgen!

Für (A,B,C) = (f,w,f) folgt daher: (AÞB)ÞC ¹ AÞ(BÞC)

6. Die Äquivalenz

Symbol der Äquivalenz: Û

Die Äquivalenz („Genau dann, wenn“) läßt sich als Konjunktion reziproker Implikationen auffassen: A gilt dann und nur dann, wenn B gilt.

Zwei Aussagen heißen äquivalent, wenn beide in allen möglichen Fällen

den gleichen Wahrheitswert ergeben.

Es existieren folgende Sprechweisen für die Äquivalenz AÛB:

a) „genau wenn A, so B“ oder

b) „dann und nur dann, wenn A, so B“ oder

c) „aus A folgt B und umgekehrt“.

Beispiele:

Ø(AÙB)Û(ØAÚØB)

Ø(AÚB)Û(ØAÙØB)

(AÞB)Û(ØAÚB)

(AÞB)Û(ØBÞØB)

2. Mengen

2. Der Mengenbegriff

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen (Cantor). Diese Objekte werden die Elemente der Dinge genannt.

ç x Î A wird gelesen als x ist Element von A

ç y Ï A wird gelesen als y ist nicht Element von A

ç Soll eine Menge aus den endlich oder unendlich vielen Elementen a,b,c,... gebildet werden, so bezeichnet man sie mit {a,b,c,...}.

ç Ist a Element der Menge A, so wird das durch a Î A symbolisiert.

ç Die Definition schließt nicht aus, daß die Menge nur aus einem Element besteht. A={a}.

ç Die leere Menge enthält kein Element. Sie wird mit dem Symbol Æ bzw. {} bezeichnet.

3. Relationen zwischen Mengen

2. Gleichheit von Mengen

Eine Menge A ist gleich einer Menge B, in Zeichen A=B, wenn jedes Element von A auch Element von B und umgekehrt jedes Element von B auch Element von A ist.

3. Teilmenge, Restmenge

Eine Menge A ist in einer Menge B enthalten, in Zeichen AÌB, wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B ist. A heißt dann Untermenge oder Teilmenge von B.

ç Ist A¹B, spricht man auch von einer echten Teilmenge (AÌB).

ç Ist A=B, spricht man von einer unechten Teilmenge (AÍB).

ç Die leere Menge Æ ist Teilmenge einer jeden Menge.

Ist A eine echte Teilmenge von B, so nennt man die Menge der Elemente von B, die A nicht angehören, die Restmenge R von B zu A (oder die zu A komplementäre Menge von B), in Zeichen R=B-A.

ç Zu jeder Menge von n Elementen gibt es genau 2ⁿ Untermengen.

ç Ist eine Menge A in einer Menge B, enthalten und die Menge B Teilmenge einer Menge C, so ist auch A Teilmenge von C: AÌAÈB und BÌC Þ AÌC.

4. Operationen mit Mengen

4. Vereinigungsmenge

Unter der Vereinigungsmenge AÈB der beiden Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu A und B gehören. Es gilt daher:

AÌAÈB und BÌAÈB.

Aus der vorstehenden Definition folgt, daß für die Vereinigung von Mengen die aus der elementaren Arithmetik bekannten Gesetze gelten:

Kommutativgesetz (Vertauschbarkeitsgesetz):

AÈB = BÈA

Assoziativgesetz (Vereinigungsgesetz):

(AÈB)ÈC = AÈ(BÈC).

Beispiele:

a) A sei die Menge aller durch 5 teilbaren Zahlen, die kleiner als 25 sind. B sei die Menge aller durch 7 teilbaren Zahlen, die kleiner als 35 sind. Es gilt dann AÈB={0,5,7,10,14,15,20,21,24,28}

b) A sei die Menge aller Quadrate. B sei die Menge Aller Dreiecke. AÈB ist dann die Menge aller Quadrate und Dreiecke.

5. Durchschnitt

gUnter dem Durchschnitt AÇB der beiden Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören. Es gilt daher:

AÇBÌA und AÇBÌB.

Für die Bildung des Durchschnitts gelten die folgenden Gesetze:

Kommutativgesetz (Vertauschbarkeitsgesetz):

AÇB = BÇA

Assoziativgesetz (Vereinigungsgesetz):

(AÇB)ÇC = AÇ(BÇC).

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):

(AÇB)È C = (AÇB)È(AÇC).

ç Wenn die Mengen A und B kein gemeinsames Element enthalten, wenn also gilt AÇB=Æ, nennt man derartige Mengen elementfremde oder disjunkte Mengen.

Beispiele:

a) A ist die Menge aller Rhomben. B ist die Menge aller Rechtecke. AÇB ist dann die Menge aller Quadrate.

b) A ist die Menge aller Rhomben. B ist die Menge aller Quadrate. Es gilt dann AÇB=B; denn alle Elemente von B gehören auch zu A.

6. Differenz

ç Unter der Differenz A\B der beiden Mengen A und B man die Menge aller Elemente von A, die nicht zu B gehören.

ç Sind die Mengen A und B elementfremd, so stimmt die Differenz A\B mit A überein und umgekehrt.

Auf jeden Fall aber gilt:

A\B = A\ (AÇB),

weil bei der Differenzbildung von A nur Elemente weggelassen werden, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

Beispiel:

Aus A={a,b,c,d} und B={b,n,a} folgt A\B={c,d}.

7. Produktmenge

Unter dem Mengenprodukt AxB der beiden Mengen A und B versteht man die Menge aller geordneten Elementpaare (a;b) mit aÎA und bÎB.

Beispiel:

Aus A={a₁,a₂,a₃} und B={b₁,b₂} folgt AxB={(a₁,b₁),(a₁b₂),(a₂,b₁),(a₂b₂),(a₃,b₁),(a₃b₂)}

8. Potenzmenge

Die Potenzmenge Ã(A) der Menge A enthält als Elemente alle Untermengen von A. Besteht aus A aus n Elementen, so enthält Ã(A) insgesamt 2ⁿ Untermengen.

Beispiel:

Aus A={a,b,c} folgt Ã(A)={Æ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

5. Zusammenfassung

Bezeichnung	Teilmenge	Gleichheit zweier Mengen	Vereinigungsmenge	Durchschnittsmenge	Differenzmenge
Symbolik	AÌB	A=B	AÈB	AÇB	A\B
Definition	x Î AÞ x Î B	x Î AÞ x Î B	x Î AÈB Û x Î A Ú x Î B	x Î AÇB Û x Î A Ù x Î B	x Î A\B Û x Î A Ù x Ï B
Erfaßt werden alle Elemente, die ...			... entweder in A oder in B oder in beiden Mengen liegen.	... sowohl in A als auch in B liegen.	... zwar in A aber nicht in B liegen.

3. 
   Zahlbereiche

4. Der Bereich der natürlichen Zahlen

6. Rechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen

Den Operationen mit endlichen Mengen entsprechen Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen.

9. Addition

Die Elementezahl s der Vereinigungsmenge S der beiden elementfremden endlichen Mengen A und B mit den EIementezahlen a und b heißt Summe der beiden Zahlen a und b und wird durch a+b bezeichnet:

S=AÈB mit AÇB=Æ

s=a+b

ç a und b heißen Summanden.

ç Die Rechnung heißt Addition.

ç Summe = Summand plus Summand.

Assoziationsgesetz (Vereinigungsgesetz):

a+(b+c) = (a+b)+c.

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):

a+b = b+a.

Monotoniegesetz:

Aus a<b folgt stets a+c<b+c.

10. Subtraktion

Ist für die beiden Zahlen a und b die Bedingung b+d=a erfüllbar, so heißt die durch sie eindeutig bestimmte Zahl d Differenz von a und b und wird mit a-b bezeichnet.

ç In der Subtraktion d=a-b wird a Minuend und b Subtrahend genannt.

ç Differenz = Minuend Minus Subtrahend.

ç Die Rechnung heißt Subtraktion.

Wenn die endliche Menge B mit der Elementezahl b in der endlichen Menge A mit der Elementezahl a enthalten ist, so hat die Differenzmenge D die Elementezahl d=a-b:

D=A\B mit BÌA

s=a-b

Ö Das Assoziativgesetz gilt nicht: (1-2)-3¹1-(2-3)!

Ö Das Kommutativgesetz gilt nicht: 1-2¹2-1!

Monotoniegesetz:

Aus a<b folgt stets a+c<b+c.

11. Multiplikation

Die Elementezahl p des Mengenprodukts P der beiden endlichen Mengen A und B mit den Elementezahlen a und b heißt Produkt der Zahlen a und b und wird durch a·b oder kurz ab bezeichnet:

P=AxB

p=a·b

ç a und b heißen Faktoren.

ç Die Rechnung heißt Multiplikation.

Assoziationsgesetz (Vereinigungsgesetz):

a·(b·c) = (a·b)·c.

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):

a·b = b·a.

Distributionsgesetz (Verteilungsgesetz):

a·(b+c) =a·b+a·c.

Monotoniegesetz:

Aus a<b und c>0 folgt stets a·c<b·c.

12. Division

Ist für die beiden Zahlen a und b die Bedingung b·c=a erfüllbar und b¹0, heißt die durch sie eindeutig bestimmte Zahl c Quotient aus a und b und wird mit a:b bezeichnet.

ç Im Quotienten wird a Dividend, b Divisor genannt.

ç Quotient = Dividend dividiert durch Divisor.

ç Die Rechnung heißt Division.

Von größter Bedeutung für praktische Rechnungen ist:

Die Division durch Null ist per Definition ausgeschlossen.

Assoziationsgesetz (Vereinigungsgesetz):

a:(b:c) = (a:b):c.

Ö Das Kommutativgesetz gilt nicht: 1:2¹2:1!

Ö Das Distributivgesetz gilt nicht: 1:(2+3)¹1:2 + 1:3)!

Monotoniegesetz:

Aus a<b und c>0 folgt stets a:c<b:c.

5. Der Bereich der ganzen Zahlen

7. Wesen und arithmetische Struktur

Der Bereich G der ganzen Zahlen wird von den Zahlen ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... gebildet. In diesem Bereich treten vorzeichenbehaftete Zahlen auf, über die zunächst einiges Grundsätzliches gesagt werden soll.

13. Vorzeichenregeln

Es ist stets:

a) a+(-a)=0.

b) -(-a) = a.

c) a+(-b) = a-b.

a+(-b)+b=a.

d) a-(-b) = a+b.

e) -(a+b) = -a+(-b).

f) -(a-b) = -a+b.

g) a-(-b) = -ab.

h) (-a)·(-b) = -(-a)·b = a·b.

6. Der Körper der rationalen Zahlen

8. Wesen der rationalen Zahlen

Alle Brüche g/h, die sich aus ganzen Zahlen g und h mit h¹0 (die Division durch Null ist in keinem Zahlenbereich möglich) bilden lassen, werden als rationale Zahlen oder gebrochene Zahlen bezeichnet. Die Menge K der rationalen Zahlen enthält die Menge G der ganzen Zahlen:

G Ì K.

Zwei Brüche g/h und g’/h’ sind genau dann gleich, wenn gh’=g’h ist:

Ein Bruch hat dann und nur dann den Wert Null, wenn sein Zähler gleich Null ist!

9. Die Menge der rationalen Zahlen als Zahlenkörper

Bei der Multiplikation zweier Brüche wird Zähler mit Zähler

und Nenner mit Nenner multipliziert.

Bei der Division von Brüchen wird der Dividend

mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert.

Zur Addition oder Subtraktion werden zwei rationale Zahlen zunächst so erweitert, daß sie einen gleichen Nenner, einen Hauptnenner, erhalten. Als Hauptnenner dient bekanntlich das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der beiden Nenner. Bei der Addition (Subtraktion) gleichnamiger Brüche (gleicher Nenner) werden deren Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner beibehalten.

Indem also im Bereich der rationalen Zahlen die vier Grundrechenarten bis auf die Division durch Null unbeschränkt ausführbar sind, ist ein in dieser Hinsicht vollendeter Zahlenbereich erreicht. Zahlenbereiche dieser Art werden Zahlenkörper genannt. Der Körperbegriff wird aber auch auf Mengen angewendet, die nicht nur aus Zahlen bestehen.

Eine Menge M, unter deren Elementen eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und eine Division mit den unter 3.1 genannten

Grundgesetzen erklärt und bis auf die Division durch Null

(=a-a für ein beliebiges aÎM) unbeschränkt ausführbar sind, heißt Körper.

Der Körper K der rationalen Zahlen ist der kleinste Zahlenkörper, der den Bereich der natürlichen Zahlen enthält.

7. Absolute Beträge und Abschätzungen

10. Absolute Beträge

Unter dem absoluten Betrag einer Zahl a, in Zeichen |a|, versteht man die nichtnegative der beiden Zahlen a und (-a). Hieraus ergeben sich die Folgerungen:

|a| ist niemals negativ!

Für jede Wahl des Vorzeichens gilt: ±a£|a|.

|-a| = |a|.

Der Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Faktoren:

|a·b| = |a|·|b|.

Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten aus den Beträgen von Dividend und Divisor:

|a:b| = |a|:|b|.

11. Abschätzungen

14. Allgemein

Für nichtnegative Zahlen a und b und jede beliebige natürliche Zahl n¹0 gilt:

Dies folgt unmittelbar daraus, daß links nur die beiden Randglieder der Summenentwicklung von (a+b)ⁿ nach dem binomischen Lehrsatz stehen und keiner der vorkommenden Summanden negativ ist.

15. Bernoullische Ungleichung

Für jedes nichtnegative a und jede natürliche Zahl n gilt:

Hier sind rechts nur die beiden der nach dem binomischen Lehrsatz zu errechnenden Glieder aufgeschrieben während die übrigen nicht-negativ sind.

16. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Für beliebige n² Zahlen a₁, a₂,..., a_n, b₁, b₂,..., b_n gilt die Ungleichung:

17. Dreiecksungleichung

Der Betrag einer Summe ist niemals größer als die Summe der Beträge der Summanden:

|a₁+a₂+...+a_n|£|a₁|+|a₂|+...+|a_n|

Der Beweis kann durch vollstän
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